планиметрия

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия

Сообщение Ian » 16 сен 2021, 16:32

На боковой стороне AB трапеции ABCD выбрана точка P, а на стороне CD выбрана точка Q. Пусть R − точка пересечения отрезков BQ и CP. Оказалось, что точки P, R, Q, D, A лежат на одной окружности. Докажите, что AR=RD
---
Более понятно обратное в некотором смысле утверждение - если R верхняя точка дуги АD, то при любом выборе точки P на дуге AR и точки Q на дуге RD точки пересечения AP и QR, DQ и PR лежат на одной высоте над АВ.Хотя тоже трудное.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия

Сообщение Ian » 16 сен 2021, 18:51

Вдогонку, применил инверсию плоскости с центром в точке R. Задача была про окружность и 6 прямых, две из которых параллельны, стала про 4 окружности (две из которых касаются) и три прямых, и что редко бывает, не стала выглядеть труднее. И где-то я преобразованную задачу уже встречал, но не решилась и она(

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

планиметрия

Сообщение zykov » 17 сен 2021, 01:53

Вроде тут просто.
Пусть прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $X$.
Раз четырёхугольник $APQD$ вписанный, то углы при $P$ и $D$ дополняют друг друга до $\pi$ (и аналогично при $Q$ и $A$).
Т.е. $\angle XDA = \angle XPD$ и $\angle XAD = \angle XQP$.
Значит треуголники $BXC$ и $QXP$ подобны (как и $AXD$). Значит $XQ/XB = XP/XC$.
Тогда треугольники $PXC$ и $QXB$ тоже подобны. Значит $\angle XPC = \angle XQB = \alpha$.

Четырёхугольник $ARQD$ вписанный, значит углы при $A$ и $Q$ дополняют друг друга до $\pi$, значит $\angle RAD = \angle XQB = \alpha$.
Аналогично, четырёхугольник $DRPA$ вписанный, значит углы при $D$ и $P$ дополняют друг друга до $\pi$, значит $\angle RDA = \angle XPC = \alpha$.
Т.е. $\angle RAD = \angle RDA$, значит $AR=DR$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия

Сообщение Ian » 17 сен 2021, 07:46

Спасибо!
zykov писал(а): $\angle XDA = \angle XPD$ и $\angle XAD = \angle XQP$

Опечатка $\angle XDA = \angle XPQ$
и доллары глючат
[math]

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

планиметрия

Сообщение zykov » 17 сен 2021, 13:14

Да, верно, там $XPQ$, а не $XPD$.
Да, сейчас этот сайт формул fx.ifz.ru подтормаживает.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 15 гостей