Сумма цифр произведения
Сумма цифр произведения
У числа 999999 сумма цифр 54, и у всех чисел 999999*k (k натуральное) сумма цифр 54 или больше. Можно ли это доказать строго? Как можно охарактеризовать числа, у которых от умножения на любое натуральное k сумма цифр не уменьшается?
Сумма цифр произведения
Ну эта сумма равна 54 только для до .
Для она удвоится, т.к. там будет не 6 девяток, а 12.
До это легко видно.
Пусть . И пусть младшая цифра не равна нулю (т.к. умножение на 10 не меняет сумму цифр).
Тогда .
Первое слагаемое занимает цифры с 7ой по 12ую (могут быть ведущие нули).
Второе слагаемое занимает цифры с 1ой по 6ую.
Если сложить и , то будет . При этом сложении переносов между разрядами не возникает.
Т.е. сумма цифр та же, что и у .
Для она удвоится, т.к. там будет не 6 девяток, а 12.
До это легко видно.
Пусть . И пусть младшая цифра не равна нулю (т.к. умножение на 10 не меняет сумму цифр).
Тогда .
Первое слагаемое занимает цифры с 7ой по 12ую (могут быть ведущие нули).
Второе слагаемое занимает цифры с 1ой по 6ую.
Если сложить и , то будет . При этом сложении переносов между разрядами не возникает.
Т.е. сумма цифр та же, что и у .
Сумма цифр произведения
Может быть удастся доказать что при до , не кончающегося нулем, сумма даже последних 12 цифр не меньше 54? хоть перебрать. Тогда это доказывает, что 999999 "хорошее" (см стартовый пост)*. И как можно найти хотя бы первые 10-15 хороших чисел, а потом найти эту последовательность в OEIS...zykov писал(а):Ну эта сумма равна 54 только для до .
---
*И кстати отсюда будет следовать что и 142857=999999/7 хорошее
Сумма цифр произведения
zykov писал(а):Source of the post При этом сложении переносов между разрядами не возникает.
Чтобы было яснее, можно переписать .
Т.е. в каждом разряде из вычитаются цифры , при этом переносов не возникает.
Сумма цифр произведения
Если рассматривать общий случай, то надо рассматривать произвольное основание.
Т.к. оснвание 10 ничем не лучше основания 2, 8, 16 или скажем 137.
Т.к. оснвание 10 ничем не лучше основания 2, 8, 16 или скажем 137.
Сумма цифр произведения
Можно представить , где и имеют значение .
Тогда .
Идея такая, что если цифра больше или равна цифре , то первое и третье слагаемые дадут 9 или больше.
Если наоборот, то . Если перенос , то будет 9.
Во втором случае перенос возникает, а в первом нет.
Вобщем если даже имеем второй случай, который даёт 8, то он всё равно сам даст перенос, который в конечном счёте добавится, если эти переносы акуратно отследить.
Тогда .
Идея такая, что если цифра больше или равна цифре , то первое и третье слагаемые дадут 9 или больше.
Если наоборот, то . Если перенос , то будет 9.
Во втором случае перенос возникает, а в первом нет.
Вобщем если даже имеем второй случай, который даёт 8, то он всё равно сам даст перенос, который в конечном счёте добавится, если эти переносы акуратно отследить.
Сумма цифр произведения
возможно, для основания 2 все будет проще, так как 2- простое число)zykov писал(а):Если рассматривать общий случай, то надо рассматривать произвольное основание.
Т.к. оснвание 10 ничем не лучше основания 2, 8, 16 или скажем 137.
Сумма цифр произведения
zykov писал(а):Source of the post если эти переносы акуратно отследить.
Если этот перенос попал на второй случай, то он там 8 превратит в 9 и возникнет новый перенос.
Если он попадает на первый случай и , то там и так было больше 9. Перенос пропадёт, но в сумме добавится минимум 1.
Если же , то во втором слагаемом 9 перейдёт в 0 и возникет новый перенос. При этом сумма из первого и третьего и так даёт 9.
Наконец перенос может докатится до конца второго и попасть в третье. Если там младшая цифра была менее 9, то этот перенос просто добавит 1 к сумме. Если там было 9, то это 9 перейдёт в 0 и возникнет новый перенос. Этот перенос может прокатится дальше, если там тоже 9, но где-то остановится, т.к. если все равны 9, то не возникнет перенос во втором (для переноса должно быть ). Для этого случая () будет во втором , в первом , при этом , т.к. начальные были 9 и это первый случай не дающий переноса. Т.е. первый и второй в сумме дают 9 и без третьего, где 0.
Сумма цифр произведения
Эта задача по мотивам школьной заочной олимпиады. Своими словами: если [math] сумма десятичных цифр числа n, то определим [math] и среди чисел от 0 до 999999 требовалось найти то, у которого [math] наибольшее. Ясно, что решив задачу пост 1, что 999999 "хорошее", мы бы его нашли. Ну как-то решили, возможно и из школьников кто-то смог.
Сумма цифр произведения
Ian писал(а):Source of the post доказать что при до , не кончающегося нулем, сумма даже последних 12 цифр не меньше 54
Я доказал для всех 18 цифр. Для последних 12 цифр это просто не верно.
(Например .)
Т.е. мы её ещё не решили. Нужно доказать для всех , но имеющийся метод затруднительно обобщить. Нужен какой-то более регулярный метод, что-бы для произвольной длины цепочки из 6-значных доказать.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 7 гостей