Сумма ряда из квадратов

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма ряда из квадратов

Сообщение Ian » 13 июл 2021, 12:55

[math]
Это с экзамена в магистратуру. Счет там огромный, и [math] , и [math] и корни в ответе.
Возможно, самым коротким способом будет найти нечетную кусочно-линейную функцию на [-П;П], ортонормальные коэффициенты Фурье которой равны [math], тогда по равенству Парсеваля сумма квадратов коэффициентов Фурье равна интегралу от квадрата этой функции. Ну еще 2 способа знаю.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из квадратов

Сообщение zykov » 14 июл 2021, 09:16

Да, там наверно все методы вычисления для дзета-функции Римана в двойке (Basel problem) обобщаются на эту задачу.
Самый прозрачный наверно - через ряды Фурье и равенство Парсеваля.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из квадратов

Сообщение zykov » 14 июл 2021, 10:13

Ian писал(а):Source of the post найти нечетную кусочно-линейную функцию на [-П;П]

Посмотрел численно на $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+1} k \sin(k x)}{9k^2-1}$$, на кусочно линейную оно не похоже.
Оно близко к $x/18$ на $[-\pi,\pi]$, но имеет небольшой плавный изгиб (несколько похожий на $0.014 \sin x$).

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из квадратов

Сообщение zykov » 14 июл 2021, 11:23

Вольфрам-альфа не стал считать эту сумму с синусами (при этом он считает исходную сумму), так что возможно этот метод с рядом Фурье и не работает.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма ряда из квадратов

Сообщение Ian » 14 июл 2021, 13:37

[math] на [math], должно подойти. Извините, не угадал сразу
P.S/
Тоже не совсем то, [math]
Но позволит найти и нашу сумму
[math]
[math]
а сумма первых двух
[math]
Последний раз редактировалось Ian 14 июл 2021, 19:38, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из квадратов

Сообщение zykov » 14 июл 2021, 18:40

Да, с косинусами работает, хотя вольфрам-альфа это не осилил.
$$\int_0^{\pi} \left(2\cos\frac{x}{3}-\cos\frac{\pi-x}{3}\right) \sin(k x) \; dx = \frac{27k}{18k^2-2}$$
Отсюда будет при $x \in (0, \pi]$
$$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{9k^2-1} \sin(k x) = \frac{\pi}{27} \left(2\cos\frac{x}{3}-\cos\frac{\pi-x}{3}\right)$$

Дальше через Парсеваля получается ответ $$\frac{4 \pi^2-3\sqrt 3 \pi}{972}$$.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 9 гостей