Тензоры от тензоров

[peregoudov]

Если у нас есть два полярных вектора [math]\bf a и [math]\bf b, то наиболее общий полярный вектор, являющийся их функцией, имеет вид [math]\alpha{\bf a}+\beta{\bf b}, где коэффициенты зависят от [math]{\bf a}^2, [math]{\bf b}^2, [math]{\bf ab}.

Хотелось бы обобщить этот результат на произвольные тензоры. Практически возник вопрос, какова общая форма зависимости тензора типа Гука ([math]c_{ijkl}=c_{jikl}=c_{ijlk}=c_{klij}) от другого тензора типа Гука и симметричного тензора второго ранга.

Предполагаю, что тут надо обратиться к теории групп (в данном случае --- к группе трехмерных вращений), возможно, что для формулировки полезными окажутся также неприводимые тензоры [math]t_m^{(l)} ([math]l и [math]m --- модуль момента импульса и его проекция). То есть вопрос можно поставить так: есть набор неприводимых тензоров [math]t^{(l_1)}, ..., [math]t^{(l_n)}. Каков общий вид неприводимого тензора [math]t^{(l)}, построенного из этих тензоров?

[Ian]

Если у нас есть два полярных вектора [math]\bf a и [math]\bf b, то наиболее общий полярный вектор, являющийся их функцией, имеет вид [math]\alpha{\bf a}+\beta{\bf b}, где коэффициенты зависят от [math]{\bf a}^2, [math]{\bf b}^2, [math]{\bf ab}.

Ну это потому что пространство этих векторов двумерно.А Ваше, Вы не могли бы посчитать сколькимерно, и объяснить, как считали? Например, пространство симметричных матриц порядка 2 трехмерно.

[peregoudov]

Вообще есть известные результаты из теории групп, точнее теории представлений. Группа вращений трехмерного пространства имеет неприводимые представления размерности 1, 3, 5, 7 и т. д. (это если не считать спинорных представлений). Общая формула для размерности [math]2l+1, где [math]l --- модуль момента импульса (это уже терминология из квантовой механики). Соответственно [math]m --- проекция момента на ось [math]z, принимающая целые значения от [math]-l до [math]l. [math]t_m^{(l)} --- это неприводимый тензор в обозначениях момента импульса. В обычных тензорных обозначениях неприводимым тензором порядка [math]l будет тензор с [math]l индексами [math]t_{i_1\ldots i_l}, симметричный по перестановке любых двух индексов и дающий нуль при свертывании по любым двум индексам. Нетрудно подсчитать, что у такого тензора как раз [math]2l+1 независимых компонент. Они линейно выражаются через [math]t_m^{(l)}.

Тензор общего вида можно представить в виде суммы неприводимых. Например, тензор Гука раскладывается в сумму [math]t^{(4)}, двух [math]t^{(2)} и двух скаляров. Симметричный тензор второго ранга --- на [math]t^{(2)} и скаляр.

Но просто подсчетом размерностей тут не обойтись. Для примера прикрепляю пару страничек из книги Грин, Адкинс "Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды", М.: Мир, 1965, где рассматривается вопрос о построении тензора второго ранга из двух тензоров второго ранга (ну, там про матрицы, но это одно и то же).

[Ian]

Я пока понимаю заданный вопрос как рассчитанный на ответ да-нет, либо любой тензор подпространства выражается через данные. и попутно будет указано как, либо есть такой который не выражается, и тогда надо указать его. Конечномерная задача такого типа имеет алгоритм решения, не связанный с природой заданных объектов, пусть он некрасив но не производит новых сущностей а даже игнорирует некоторые старые. Может на него пока наляжем? а теорию представлений можно и потом прикрутить

[peregoudov]

Я, честно говоря, не очень понимаю, как можно игнорировать тензорную природу объектов в этой задаче. Рассмотрим частный случай: есть один только исходный тензор t, а построить надо скаляр. В таком виде это задача о построении инвариантов тензора. И я не понимаю, как можно построить инварианты, если не знать, относительно каких преобразований они должны быть инвариантны.

[Ian]

Множество интересующих вас тензоров это в любом случае линейное подпространство.Если принимать во внимание только те условия симметрии, которые Вы упомянули явно, то размерность его 21. Дальше размерность, видимо, сократится из условия инвариантности относительно каких-то движений, но надо указать каких. В любом случае можно выделить базисные, которые уметь представлять с одной стороны, необходимо, если мы хотим решить задачу, с другой достаточно,по линейности.

[peregoudov]

Да, размерность пространства тензоров Гука равна 21. Нет, она не сократится "из условия инвариантности". "Условие инвариантности" играет другую роль: относительно него должно быть инвариантно выражение искомого тензора через исходные. "Какие движения", вроде бы очевидно: трехмерные вращения. Как они действуют на тензор? Вроде бы известно
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor

Думаю, будет проще, если вы просто изложите свой алгоритм на каком-то конкретном примере. Можно взять пример попроще, с известным ответом. Скажем, построить скаляр из симметричного тензора второго ранга.

[Ian]

[math](a_{11},a_{12},a_{22})\to a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{22}b_{22}, где коэффициенты b это некоторые функции от точки. Возможно, на них есть какие-то дополнительные условия, но какая разница, в конкретной задаче их все равно надо найти конкретно

[peregoudov]

Ничего не понял... Ian, вы говорите, что у вас есть какой-то алгоритм. Можно посмотреть на примере, как он работает? Не просто готовый ответ, а как работает алгоритм, от начала и до конца.

И еще три замечания. Первое: интересует вообще-то трехмерный случай. Но хорошо, пусть для простоты будет сначала двумерный.

Второе: чтобы приведенная вами величина была инвариантом, нужно, чтобы [math]b_{ik} было тензором. Но у нас нет никакого второго тензора, только [math]a_{ik}.

Третье: непонятно, то, что вы привели --- это все возможности, или же есть еще какие-то.

[Ian]

Это просто такой стиль разговора.
"откуда пистолет, Сеня
-Оттуда
-Завербовали..."
Вот у Вас есть тензор с координатами а в какой-то системе координат. А я говорю, что какие бы ни были координатные функции b , написанная сумма (в духе теоремы об общим виде линейного функционала) является скаляром.
потом Вы мне сообщаете,к примеру, что в случае замены системы координат Ваши а меняются по контравариантному закону. И как должны меняться мои b, чтобы скаляр оставался тем же, ведь Ваш тензор тот же. Я отвечаю, что тогда b изменятся по ковариантному закону, а про себя думаю и чего это менять координаты, сразу не выбрали самые удобные.
То есть я пока не вижу вопроса.

[peregoudov]

Ладно, тогда я просто напишу правильный ответ. Так вот, у симметричных тензоров [math]a_{ik} второго ранга в двумерном пространстве (а группа вращений обычная двумерная) два функционально независимых инварианта: след тензора [math]a_{ii} и след квадрата тензора [math]a_{ik}a_{ki}.

В трехмерном случае ответ аналогичен: симметричный тензор второго ранга имеет три инварианта: след, след квадрата и след куба.

[Ian]

Ладно, тогда я просто напишу правильный ответ. Так вот, у симметричных тензоров [math]a_{ik} второго ранга в двумерном пространстве (а группа вращений обычная двумерная) два функционально независимых инварианта: след тензора [math]a_{ii} и след квадрата тензора [math]a_{ik}a_{ki}.

То есть сумма собственных чисел и сумма их квадратов, значит просто сама пара этих собственных чисел. Значит 3 9размерность пространства симметричных матриц) минус 1 (размерность группы вращений)=2 независимых инварианта

В трехмерном случае ответ аналогичен: симметричный тензор второго ранга имеет три инварианта: след, след квадрата и след куба.

Сумма, сумма квадратов и сумма кубов трех собственных чисел. Из чего очевидно, что это действительно инварианты. С размерностью равенство: 6-3=3.

[peregoudov]

Not so fast, baby. Ваша "арифметика" не работает на других известных примерах.

Возьмем трехмерный вектор. Размерность пространства векторов 3, размерность группы трехмерных вращений 3, стало быть, по вашей "логике" у вектора вовсе не должно быть инвариантов. Ан нет! Есть --- квадрат вектора.

Возьмем антисимметричный 4-тензор [math]F_{\mu\nu}, например, тензор электромагнитного поля. Размерность пространства таких тензоров 6 (в отношении трехмерных вращений тензор распадается на 3-векторы электрического [math]\bf E и магнитного [math]\bf B полей), размерность группы Лоренца 6, по-вашему снова не должно быть инвариантов. Однако --- есть, и даже две штуки: [math]F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} ([math]B^2-E^2) и [math]\varepsilon_{\alpha\beta\mu\nu}F^{\alpha\beta}F^{\mu\nu} ([math]\bf EB).