Аналитический центр многоугольника
Аналитический центр многоугольника
В "Рассказы о максимумах и минимумах" есть задача - охарактеризуйте точку внутри многоугольника, у которой произведение расстояний до сторон максимально. Для треугольника у меня вышло, что это точка пересечения медиан, а как быть в общем случае?
Аналитический центр многоугольника
Ну и как Вы доказывали? Потому что первое что приходит в голову в общем случае -рассмотреть сумму площадей треугольников с вершиной в этой точке [math], отсюдаAlbus писал(а): Для треугольника у меня вышло, что это точка пересечения медиан
[math], и если все n площадей можно уравнять то достигается равенство. А вот если нельзя... Я думаю в книжке имелся в виду случай когда можно)
Но оказывается, даже для трапеции, не являющейся параллелограммом, нельзя, два боковых треугольника всегда больше в сумме (при точке ниже средней линии), чем примыкающие к основаниям. Хотя точку-то аналитически легко найти
Аналитический центр многоугольника
Ian писал(а):Source of the post Ну и как Вы доказывали?
Возьмем логарифмическую производную, тогда очевидно, что если через эту точку провести прямую до одной из вершин, то она должна ее делить в отношении , считая от точки пересечения с противолежащей стороной. И так для всех трех вершин, выходит только одна точка - пересечение медиан. А факт деления в этой пропорции доказать просто - пусть - искомая пропорция, -расстояние до противолежащей стороны, а и - расстояния до боковых сторон. Тогда если двигаться по прямой к вершине, то увеличивается, а остальные уменьшаются, и наоборот, тогда из зануления логарифмической производной выходит , следовательно , откуда .
Аналитический центр многоугольника
Для многоугольника у меня вышло так - проведем через искомую точку два перпендикулярных орта. Для каждого орта найдем угол, под которым его продолжение пересекается с продолжениями каждой из сторон, если для достижения точки пересечения надо выйти по орту, то угол положителен, если против орта, то отрицателен, обозначим его за , тогда для каждого орта должно выполняться соотношение , где - расстояние до соответствующей стороны
Аналитический центр многоугольника
Albus писал(а):Source of the post , следовательно , откуда .
Разумеется тут , следовательно , откуда
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей