Делители 2016^2016

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делители 2016^2016

Сообщение zykov » 22 май 2021, 14:46

С регаты 2021.
Найти количество делителей числа $2016^{2016}$, которые имеют ровно 2016 делителей.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делители 2016^2016

Сообщение zykov » 22 май 2021, 14:57

Соображения:
$2016 = 2^5 3^2 7$
Если число раскладывается на простые множители $p_1^a p_2^b p_3^c$, то количество его делителей $(a+1)(b+1)(c+1)$.

Делитель числа $2016^{2016}$ имеет вид $2^a 3^b 7^c$. Требуется чтобы $(a+1)(b+1)(c+1)=2016$.
Число $2016$ можно разбить на 3 множителя (порядок важен) числом способов $3^{5+2+1}=3^8=6561$.
Это количество способов, как мы можем раскидать 5 двоек, 2 тройки и одну 7 в три различимых карзины.

Этот ответ не прошел.
Видимо я ошибся, т.к. сами тройки и двойки уже неразличимы.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делители 2016^2016

Сообщение zykov » 22 май 2021, 15:09

Например тройки можно раскидать 6 вариантами, а не 9 вариантами.
$6=1+2+3$
Для двоек: $1+2+3+4+5+6=21$

Т.е. ответ должен быть $21\cdot 6 \cdot 3 = 378$.

Псевдосфера
Сообщений: 73
Зарегистрирован: 16 июл 2020, 14:40

Делители 2016^2016

Сообщение Псевдосфера » 22 май 2021, 15:14

я в суматохе эту задачу вообще по-другому прочитала: сколько делителей встречаются в заданном числе ровно 2016 раз. Теперь читаю и понять не могу откуда взялась моя трактовка

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делители 2016^2016

Сообщение zykov » 22 май 2021, 15:16

Да, мозги закипают. Ещё дома жарко (29C показывает).
Хорошие задачи я люблю. А вот регатную спешку не люблю.
В школе на олимпиадах было лучше, когда на 5 задач давали 3 часа.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Делители 2016^2016

Сообщение Ian » 22 май 2021, 15:23

zykov писал(а):Соображения:
$2016 = 2^5 3^2 7$
Если число раскладывается на простые множители $p_1^a p_2^b p_3^c$, то количество его делителей $(a+1)(b+1)(c+1)$.

Делитель числа $2016^{2016}$ имеет вид $2^a 3^b 7^c$. Требуется чтобы $(a+1)(b+1)(c+1)=2016$.
Число $2016$ можно разбить на 3 множителя (порядок важен) числом способов $3^{5+2+1}=3^8=6561$.
Это количество способов, как мы можем раскидать 5 двоек, 2 тройки и одну 7 в три различимых карзины.

Этот ответ не прошел.
Видимо я ошибся, т.к. сами тройки и двойки уже неразличимы.
Ну да,выбираем корзину куда 7 -3мя способами, и корзины куда 3ки 3+3 способами, и распределение двоек по 3м корзинам [math]способами итого 1008

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делители 2016^2016

Сообщение zykov » 22 май 2021, 15:44

У меня для двоек 21, а не 56.
5 двоек в первой корзине: 1 вариант (0+0)
4 двойки в первой корзине: 2 варианта (1+0, 0+1)
3 двойки в первой корзине: 3 варианта (2+0, 1+1, 0+2)
2 двойки в первой корзине: 4 варианта
1 двойка в первой корзине: 5 вариантов
0 двоек в первой корзине: 6 вариантов (5+0, 4+1, 3+2, 2+3, 1+4, 0+5)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Делители 2016^2016

Сообщение Ian » 22 май 2021, 15:51

Ian писал(а):Ну да,выбираем корзину куда 7 -3мя способами, и корзины куда 3ки 3+3 способами, и распределение двоек по 3м корзинам [math]способами итого 1008
Опс у меня ошибка 3 корзины соответствуют 2м перегородкам между 5 неразличимыми двойками и надо их только расставить( 7 мест заполнить 2мя перегородками и 5ю двойками как угодно), выходит [math]


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей