физтех-21
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
По четвертой пока есть только идея рассмотреть матрицу
тогда как раз будет
Дальше напрашивается трюк типа Коши---Буняковского, но технически я пока не знаю, как довести до конца. Можно, например, доказать неравенство
где --- произвольный единичный вектор.
тогда как раз будет
Дальше напрашивается трюк типа Коши---Буняковского, но технически я пока не знаю, как довести до конца. Можно, например, доказать неравенство
где --- произвольный единичный вектор.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
По второй: а нельзя ли применить ту же самую идею, что при выборе сходящейся последовательности из ограниченной, попутно увеличивая число промежуточных точек на [a,b], в которых мы эту последовательность выбираем? Пусть, например [a,b]=[0,1], [min,max]=[0,1], тогда на каждом шаге будет последовательность функций, ограниченная в точках , , 1, ..., воротами шириной . Правда, не понимаю, зачем тут монотонность...
физтех-21
Это эффективная идея "если на некотором отрезке бесконечно много значений, то хотя бы на одной из его половин их бесконечно много", получится последовательность, сходящаяся на всюду плотном множестве (назовем его M) точек деления к некоторой функции. даже равномерно, но не будь монотонности, мы не могли бы сказать, что предельная функция [math] монотонна на М. (Конечно мы сразу взяли все функции монотонно неубывающие, без ограничения общности) А так ее можно продолжить по непрерывности в точку х по методу [math], [math] получится монотонная, она имеет не более чем счетное число разрывов, везде кроме разрывов можно доказать поточечную сходимость исходной последовательности. Остается выделить новую подпоследовательность, которая сходится и в точках разрыва.peregoudov писал(а):По второй: а нельзя ли применить ту же самую идею, что при выборе сходящейся последовательности из ограниченной, попутно увеличивая число промежуточных точек на [a,b], в которых мы эту последовательность выбираем? Пусть, например [a,b]=[0,1], [min,max]=[0,1], тогда на каждом шаге будет последовательность функций, ограниченная в точках , , 1, ..., воротами шириной . Правда, не понимаю, зачем тут монотонность...
Последний раз редактировалось Ian 17 май 2021, 12:56, всего редактировалось 3 раз.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
По первой: я правильно понимаю, что определитель такой матрицы в принципе может быть равен только либо -1, либо 0, либо 1?
физтех-21
да, там простоperegoudov писал(а):По первой: я правильно понимаю, что определитель такой матрицы в принципе может быть равен только либо -1, либо 0, либо 1?
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
То есть я правильно подозревал, что монотонность дана взамен непрерывности...Ian писал(а):Source of the post Остается выделить новую подпоследовательность, которая сходится и в точках разрыва
физтех-21
Непрерывности бы не хватило, нужна "равностепенная непрервыность семейства" https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Асколи_—_Арцела
физтех-21
По 4-ой, мне кажется можно в три шага сделать.
1) Показать, что билинейная форма для матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Делается легко напрямую.
2) Показать, что билинейная форма для поэлементных квадратов матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Должно быть не сложно - на диагонали единицы, а вне диагонали квадрат уменьшает значения, что делает матрицу более "диагональной".
3) Показать тоже самое, если из предыдущей матрицы вычесть квадратную матрицу у которой все элементы равны . Эта вычитаемая матрица - это проектор на вектор с масштабированием. Если вектор (из билинейного выражения) разложить на сумму компонент вдоль этого направления и перпендикулярно этому направлению, то для перпендикулярной компоненты уже доказано. Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.
Должно сработать, хотя возможно есть что-то покороче, более олимпиадное.
1) Показать, что билинейная форма для матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Делается легко напрямую.
2) Показать, что билинейная форма для поэлементных квадратов матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Должно быть не сложно - на диагонали единицы, а вне диагонали квадрат уменьшает значения, что делает матрицу более "диагональной".
3) Показать тоже самое, если из предыдущей матрицы вычесть квадратную матрицу у которой все элементы равны . Эта вычитаемая матрица - это проектор на вектор с масштабированием. Если вектор (из билинейного выражения) разложить на сумму компонент вдоль этого направления и перпендикулярно этому направлению, то для перпендикулярной компоненты уже доказано. Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.
Должно сработать, хотя возможно есть что-то покороче, более олимпиадное.
физтех-21
zykov писал(а):Source of the post Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.
Тут собственно нетривиальный момент.
Нужно показать .
Без квадрата это было "больше равно нулю".
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
Ха-ха, а я решил четвертую. Вот мы тупые, это же класическое ! Имеем
а потому
где . Вот и все!
а потому
где . Вот и все!
физтех-21
а V что за матрицаperegoudov писал(а):Ха-ха, а я решил четвертую. Вот мы тупые, это же класическое ! Имеем
а потому
где . Вот и все!
физтех-21
Человеческим языком:
Последнее равно , если - взаимно ортогональные, единичные.
Но в условии про ортогональность не говорится, только про единичность.
Последнее равно , если - взаимно ортогональные, единичные.
Но в условии про ортогональность не говорится, только про единичность.
физтех-21
Да, в задаче нужно другую штуку оценить:
Не вижу, как её упростить...
Не вижу, как её упростить...
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
Ну вы юмористы! Чужих сообщений принципиально, что ли, не читаете? Один предлагает доказывать то, что доказано в первом ответе в тему, другой не в состоянии найти там же определение V...
физтех-21
Пока что я решения не вижу (задача 4).
Если считаете, что у Вас есть решение, запишите его в человеческом виде.
Если считаете, что у Вас есть решение, запишите его в человеческом виде.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
В каком "нормальном"? В теме всего два моих сообщения, посвященных четвертой задаче. Или я должен в каждом своем новом сообщении цитировать все предыдущие на случай, что вы не сообразите их прочитать? Цирк какой-то, ей-богу...
физтех-21
Решение жюри, но я и там 4ю задачу не понимаю
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
физтех-21
Ну так это то же самое решение, что у меня, с точность до переобозначения V в C
физтех-21
так матрица V из каких элементов состоит (числа или кто), почему их можно перемножать и по каким правилам (правила умножения числовых матриц я знаю), и если V симметрична то след квадрата не меньше чем 1/n * квадрат следа (так как это суммы собственных чисел) , а если не симметрична то это еще вопрос
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей