физтех-21

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 16 май 2021, 13:49

z39_QeVZVBc.jpg
z39_QeVZVBc.jpg (213.64 KiB) 1704 просмотра

не вышли 2я и 4я

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 17 май 2021, 11:15

По четвертой пока есть только идея рассмотреть матрицу $n\times n$

$$ V=\sum_j x_j v_j\otimes v_j, $$

тогда как раз будет

$$ \mathop{\rm Tr}V^2=\sum_{ij}x_ix_j(v_i\cdot v_j)^2. $$

Дальше напрашивается трюк типа Коши---Буняковского, но технически я пока не знаю, как довести до конца. Можно, например, доказать неравенство

$$ \mathop{\rm Tr}V^2\geq\left(\sum_i x_i(v_i\cdot a)^2\right)^2, $$

где $a$ --- произвольный единичный вектор.

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 17 май 2021, 11:35

По второй: а нельзя ли применить ту же самую идею, что при выборе сходящейся последовательности из ограниченной, попутно увеличивая число промежуточных точек на [a,b], в которых мы эту последовательность выбираем? Пусть, например [a,b]=[0,1], [min,max]=[0,1], тогда на каждом шаге будет последовательность функций, ограниченная в точках $k/2^n$, $k=0$, 1, ..., $2^n$ воротами шириной $2^{-n}$. Правда, не понимаю, зачем тут монотонность...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 17 май 2021, 12:49

peregoudov писал(а):По второй: а нельзя ли применить ту же самую идею, что при выборе сходящейся последовательности из ограниченной, попутно увеличивая число промежуточных точек на [a,b], в которых мы эту последовательность выбираем? Пусть, например [a,b]=[0,1], [min,max]=[0,1], тогда на каждом шаге будет последовательность функций, ограниченная в точках $k/2^n$, $k=0$, 1, ..., $2^n$ воротами шириной $2^{-n}$. Правда, не понимаю, зачем тут монотонность...
Это эффективная идея "если на некотором отрезке бесконечно много значений, то хотя бы на одной из его половин их бесконечно много", получится последовательность, сходящаяся на всюду плотном множестве (назовем его M) точек деления к некоторой функции. даже равномерно, но не будь монотонности, мы не могли бы сказать, что предельная функция [math] монотонна на М. (Конечно мы сразу взяли все функции монотонно неубывающие, без ограничения общности) А так ее можно продолжить по непрерывности в точку х по методу [math], [math] получится монотонная, она имеет не более чем счетное число разрывов, везде кроме разрывов можно доказать поточечную сходимость исходной последовательности. Остается выделить новую подпоследовательность, которая сходится и в точках разрыва.
Последний раз редактировалось Ian 17 май 2021, 12:56, всего редактировалось 3 раз.

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 17 май 2021, 12:51

По первой: я правильно понимаю, что определитель такой матрицы в принципе может быть равен только либо -1, либо 0, либо 1?

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 17 май 2021, 12:53

peregoudov писал(а):По первой: я правильно понимаю, что определитель такой матрицы в принципе может быть равен только либо -1, либо 0, либо 1?
да, там просто

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 17 май 2021, 12:53

Ian писал(а):Source of the post Остается выделить новую подпоследовательность, которая сходится и в точках разрыва
То есть я правильно подозревал, что монотонность дана взамен непрерывности...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 17 май 2021, 12:58

Непрерывности бы не хватило, нужна "равностепенная непрервыность семейства" https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Асколи_—_Арцела

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 18 май 2021, 20:11

По 4-ой, мне кажется можно в три шага сделать.
1) Показать, что билинейная форма для матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Делается легко напрямую.
2) Показать, что билинейная форма для поэлементных квадратов матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Должно быть не сложно - на диагонали единицы, а вне диагонали квадрат уменьшает значения, что делает матрицу более "диагональной".
3) Показать тоже самое, если из предыдущей матрицы вычесть квадратную матрицу у которой все элементы равны $1/n$. Эта вычитаемая матрица - это проектор на вектор $(1,1,...,1)$ с масштабированием. Если вектор (из билинейного выражения) разложить на сумму компонент вдоль этого направления и перпендикулярно этому направлению, то для перпендикулярной компоненты уже доказано. Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.

Должно сработать, хотя возможно есть что-то покороче, более олимпиадное.

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 18 май 2021, 20:47

zykov писал(а):Source of the post Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.

Тут собственно нетривиальный момент.
Нужно показать $$\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j)^2 \geq \frac{m^2}{n}$$.
Без квадрата это было "больше равно нулю".

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 21 май 2021, 16:17

Ха-ха, а я решил четвертую. Вот мы тупые, это же класическое $\overline{x^2}-\overline x^2>0$! Имеем

$$ \mathop{\rm Tr}V=\sum_i x_i, $$

а потому

$$ \sum_{i,j}((v_i\cdot v_j)^2-1/n)x_ix_j=\mathop{\rm Tr}V^2-\frac1n(\mathop{\rm Tr}V)^2=n(\overline{V^2}-\overline V^2), $$

где $\overline V=\frac1n\mathop{\rm Tr}V$. Вот и все!

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 21 май 2021, 20:42

peregoudov писал(а):Ха-ха, а я решил четвертую. Вот мы тупые, это же класическое $\overline{x^2}-\overline x^2>0$! Имеем

$$ \mathop{\rm Tr}V=\sum_i x_i, $$

а потому

$$ \sum_{i,j}((v_i\cdot v_j)^2-1/n)x_ix_j=\mathop{\rm Tr}V^2-\frac1n(\mathop{\rm Tr}V)^2=n(\overline{V^2}-\overline V^2), $$

где $\overline V=\frac1n\mathop{\rm Tr}V$. Вот и все!
а V что за матрица

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 21 май 2021, 21:16

Человеческим языком:
$$\sum_{i,j}\frac{1}{n} x_i x_j = \frac{1}{n} (\sum_i x_i)^2$$
$$\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j) x_i x_j = ( (\sum_i v_i x_i) \cdot (\sum_j v_j x_j) ) = |\sum_i v_i x_i|^2$$
Последнее равно $$\sum_i x_i^2$$, если $v_i$ - взаимно ортогональные, единичные.
Но в условии про ортогональность не говорится, только про единичность.

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 21 май 2021, 21:42

Да, в задаче нужно другую штуку оценить:
$$\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j)^2 x_i x_j$$
Не вижу, как её упростить...

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 24 май 2021, 00:34

Ну вы юмористы! Чужих сообщений принципиально, что ли, не читаете? Один предлагает доказывать то, что доказано в первом ответе в тему, другой не в состоянии найти там же определение V...

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 24 май 2021, 12:13

Пока что я решения не вижу (задача 4).
Если считаете, что у Вас есть решение, запишите его в человеческом виде.

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 24 май 2021, 14:41

В каком "нормальном"? В теме всего два моих сообщения, посвященных четвертой задаче. Или я должен в каждом своем новом сообщении цитировать все предыдущие на случай, что вы не сообразите их прочитать? Цирк какой-то, ей-богу...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 25 май 2021, 15:30

2021-05-sol.pdf
(121.82 KiB) Загружено 46 раз
Решение жюри, но я и там 4ю задачу не понимаю

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 25 май 2021, 16:02

Ну так это то же самое решение, что у меня, с точность до переобозначения V в C :lol:

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 25 май 2021, 16:20

так матрица V из каких элементов состоит (числа или кто), почему их можно перемножать и по каким правилам (правила умножения числовых матриц я знаю), и если V симметрична то след квадрата не меньше чем 1/n * квадрат следа (так как это суммы собственных чисел) , а если не симметрична то это еще вопрос


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 7 гостей