Портал Естественных Наук, версия 1.1

: z39_QeVZVBc.jpg (213.64 KiB) 17318 просмотра

не вышли 2я и 4я

По четвертой пока есть только идея рассмотреть матрицу $n\times n$

$V=\sum_j x_j v_j\otimes v_j,$

тогда как раз будет

$\mathop{\rm Tr}V^2=\sum_{ij}x_ix_j(v_i\cdot v_j)^2.$

Дальше напрашивается трюк типа Коши---Буняковского, но технически я пока не знаю, как довести до конца. Можно, например, доказать неравенство

$\mathop{\rm Tr}V^2\geq\left(\sum_i x_i(v_i\cdot a)^2\right)^2,$

где $a$

--- произвольный единичный вектор.

По второй: а нельзя ли применить ту же самую идею, что при выборе сходящейся последовательности из ограниченной, попутно увеличивая число промежуточных точек на [a,b], в которых мы эту последовательность выбираем? Пусть, например [a,b]=[0,1], [min,max]=[0,1], тогда на каждом шаге будет последовательность функций, ограниченная в точках $k/2^n$

,

, 1, ...,

воротами шириной $2^{-n}$ . Правда, не понимаю, зачем тут монотонность...

peregoudov писал(а):По второй: а нельзя ли применить ту же самую идею, что при выборе сходящейся последовательности из ограниченной, попутно увеличивая число промежуточных точек на [a,b], в которых мы эту последовательность выбираем? Пусть, например [a,b]=[0,1], [min,max]=[0,1], тогда на каждом шаге будет последовательность функций, ограниченная в точках , , 1, ..., воротами шириной $2^{-n}$ . Правда, не понимаю, зачем тут монотонность...

Это эффективная идея "если на некотором отрезке бесконечно много значений, то хотя бы на одной из его половин их бесконечно много", получится последовательность, сходящаяся на всюду плотном множестве (назовем его M) точек деления к некоторой функции. даже равномерно, но не будь монотонности, мы не могли бы сказать, что предельная функция

g монотонна на М. (Конечно мы сразу взяли все функции монотонно неубывающие, без ограничения общности) А так ее можно продолжить по непрерывности в точку х по методу

g(x-0)=\sup_{y\leq x,y\in M} g(y),

g(x+0)=\inf_{y\geq x,y\in M} g(y) получится монотонная, она имеет не более чем счетное число разрывов, везде кроме разрывов можно доказать поточечную сходимость исходной последовательности. Остается выделить новую подпоследовательность, которая сходится и в точках разрыва.

По первой: я правильно понимаю, что определитель такой матрицы в принципе может быть равен только либо -1, либо 0, либо 1?

peregoudov писал(а):По первой: я правильно понимаю, что определитель такой матрицы в принципе может быть равен только либо -1, либо 0, либо 1?

да, там просто

Ian писал(а):Source of the post Остается выделить новую подпоследовательность, которая сходится и в точках разрыва

То есть я правильно подозревал, что монотонность дана взамен непрерывности...

Непрерывности бы не хватило, нужна "равностепенная непрервыность семейства" https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Асколи_—_Арцела

По 4-ой, мне кажется можно в три шага сделать.
1) Показать, что билинейная форма для матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Делается легко напрямую.
2) Показать, что билинейная форма для поэлементных квадратов матрицы Грама будет положительной полуопределенной. Должно быть не сложно - на диагонали единицы, а вне диагонали квадрат уменьшает значения, что делает матрицу более "диагональной".
3) Показать тоже самое, если из предыдущей матрицы вычесть квадратную матрицу у которой все элементы равны $1/n$

. Эта вычитаемая матрица - это проектор на вектор $(1,1,...,1)$

с масштабированием. Если вектор (из билинейного выражения) разложить на сумму компонент вдоль этого направления и перпендикулярно этому направлению, то для перпендикулярной компоненты уже доказано. Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.

Должно сработать, хотя возможно есть что-то покороче, более олимпиадное.

zykov писал(а):Source of the post Осталось доказать для компоненты вдоль направления и для перекрестного члена.

Тут собственно нетривиальный момент.
Нужно показать $\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j)^2 \geq \frac{m^2}{n}$ .
Без квадрата это было "больше равно нулю".

Ха-ха, а я решил четвертую. Вот мы тупые, это же класическое $\overline{x^2}-\overline x^2>0$ ! Имеем

$\mathop{\rm Tr}V=\sum_i x_i,$

а потому

$\sum_{i,j}((v_i\cdot v_j)^2-1/n)x_ix_j=\mathop{\rm Tr}V^2-\frac1n(\mathop{\rm Tr}V)^2=n(\overline{V^2}-\overline V^2),$

где $\overline V=\frac1n\mathop{\rm Tr}V$ . Вот и все!

peregoudov писал(а):Ха-ха, а я решил четвертую. Вот мы тупые, это же класическое $\overline{x^2}-\overline x^2>0$ ! Имеем

$\mathop{\rm Tr}V=\sum_i x_i,$

а потому

$\sum_{i,j}((v_i\cdot v_j)^2-1/n)x_ix_j=\mathop{\rm Tr}V^2-\frac1n(\mathop{\rm Tr}V)^2=n(\overline{V^2}-\overline V^2),$

где $\overline V=\frac1n\mathop{\rm Tr}V$ . Вот и все!

а V что за матрица

Человеческим языком:
$\sum_{i,j}\frac{1}{n} x_i x_j = \frac{1}{n} (\sum_i x_i)^2$
$\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j) x_i x_j = ( (\sum_i v_i x_i) \cdot (\sum_j v_j x_j) ) = |\sum_i v_i x_i|^2$
Последнее равно $\sum_i x_i^2$ , если $v_i$

- взаимно ортогональные, единичные.
Но в условии про ортогональность не говорится, только про единичность.

Да, в задаче нужно другую штуку оценить:
$\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j)^2 x_i x_j$
Не вижу, как её упростить...

Ну вы юмористы! Чужих сообщений принципиально, что ли, не читаете? Один предлагает доказывать то, что доказано в первом ответе в тему, другой не в состоянии найти там же определение V...

Пока что я решения не вижу (задача 4).
Если считаете, что у Вас есть решение, запишите его в человеческом виде.

В каком "нормальном"? В теме всего два моих сообщения, посвященных четвертой задаче. Или я должен в каждом своем новом сообщении цитировать все предыдущие на случай, что вы не сообразите их прочитать? Цирк какой-то, ей-богу...

2021-05-sol.pdf: (121.82 KiB) Загружено 420 раз

Решение жюри, но я и там 4ю задачу не понимаю

Ну так это то же самое решение, что у меня, с точность до переобозначения V в C :lol:

так матрица V из каких элементов состоит (числа или кто), почему их можно перемножать и по каким правилам (правила умножения числовых матриц я знаю), и если V симметрична то след квадрата не меньше чем 1/n * квадрат следа (так как это суммы собственных чисел) , а если не симметрична то это еще вопрос

Портал Естественных Наук, версия 1.1

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21

физтех-21