физтех-21

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 25 май 2021, 16:40

Ну то есть вам тоже нужно в каждом сообщении цитировать все предыдущие, сами вы глаза поднять не можете?
peregoudov писал(а):Source of the post По четвертой пока есть только идея рассмотреть матрицу $n\times n$

$$ V=\sum_j x_j v_j\otimes v_j, $$

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 25 май 2021, 21:49

я это видел. Я не понимаю значок.Ответьте пожалуйста на вопросы заданные выше.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 26 май 2021, 13:03

Ian, они рассматривают матрицы $v_i v_i^T$. Точнее, рассматривают тензор (2-вектор) $V_i^{kl}=v_i^k v_i^l$. Здесь $i$ - это индекс в наборе, а $k, l$ - индексы элементов вектора/тензора.
Эти тензоры входят в линейное простанство размерности $n^2$. На нём они определяют стнадартное скалярное произведение (обозначено $g$).

Далее,
$$Q=\sum_{i,j} (v_i \cdot v_j)^2 c_i c_j=\sum_{i,j} \left( \sum_{k,l} v_i^k v_j^k v_i^l v_j^l \right) c_i c_j=\sum_{k,l}\left(\sum_{i} v_i^k v_i^l c_i\right)\left(\sum_{j} v_j^k v_j^l c_j\right)=\sum_{k,l}\left(\sum_{i} v_i^k v_i^l c_i\right)^2$$
Что сразу доказывает неотрицательность $Q$ (положительную полуопределенность матрицы Грама, в который каждый элемент возвели в квадрат).

Далее, после "Определим тензор $C$", они делают олимпиадную хитрость (это то, что peregoudov упустил).
И доказывают более сильное, что $$Q \geq \frac{1}{n}\left(\sum_i c_i \right)^2$$ через неравенство Коши-Буняковского.
Последний раз редактировалось zykov 26 май 2021, 16:31, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 26 май 2021, 14:27

Ian писал(а):Source of the post Я не понимаю значок

Значком "крест в кружке" они обозначают произведение двух векторов, которое даёт тензор сигнатуры $(2,0)$, т.е. 2-вектор, дважды котравариантный тензор.
Это в отличии от просто произведения $v u^T$, которое даёт тензор сигнатуры $(1,1)$ - сигнатуры линейного оператора.
(Ну и, сигнатура $(0,2)$, дважды ковариантный тензор - сигнатура тензора билинейной формы.)

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 26 май 2021, 16:20

Ian писал(а):Source of the post Я не понимаю значок.
Ну так если что-то непонятно, надо конкретно переспросить. А вы сперва это молча проглатываете, но, поскольку ничего не поняли, на всякий случай стираете из памяти. И, когда следует продолжение, делаете круглые глаза --- "откуда?"

zykov писал(а):Source of the post после "Определим тензор $C$", они делают олимпиадную хитрость
Мне кажется, олимпиадная хитрость именно в том, чтобы ввести "тензор С". Понятно, что нужно еще догадаться, как через него записать вторую часть неравенства --- это то, с чем я долго тупил. А вот Коши-Буняковский тут не обязателен, можно обойтись и свойствами следов матриц.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 26 май 2021, 16:29

peregoudov писал(а):Source of the post Мне кажется, олимпиадная хитрость именно в том, чтобы ввести "тензор С"

Нет, тензор $C$ тут сам вылез в моём $Q$: $$\sum_{i} v_i^k v_i^l c_i$$
Через это я давно доказал положительную полуопределнность "матрицы Грама с квадратами".

А дальше заглохло.
Нужно было ввести их тезор $I$.
Сам по себе он простой, а вот то что он полезен и можно неравенство соорудить с его помощью - это уже хитрость.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 26 май 2021, 16:37

zykov писал(а):Source of the post Через это я давно доказал положительную полуопределнность "матрицы Грама с квадратами".
А вот это разве не доказательство "положительной полуопределенности матрицы Грама с квадратами"? :lol: :lol: :lol:
peregoudov писал(а):Source of the post тогда как раз будет

$$ \mathop{\rm Tr}V^2=\sum_{ij}x_ix_j(v_i\cdot v_j)^2. $$
Я потому и написал, что вы в своем сообщении предлагали доказывать то, что уже было доказано в первом же ответе в тему. Похоже, и до сих пор продолжаете доказывать. А Ian до сих пор продолжает не понимать, что у меня обозначено буквой V :lol:

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 26 май 2021, 16:53

peregoudov писал(а):Source of the post что у меня обозначено буквой V

Я тоже не понимаю.
И что такое $V^2$ - кадрат матрицы или матрица с квадратами элементов?
Что такое $Tr$? След или что-то другое?

Нужно яснее выражать свои мысли.
Этот как школьников учат: "не важно, если у тебя в голове есть правильное решение, но ты его не можешь чётко и ясно записать на экзамене/олимпиаде".

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

физтех-21

Сообщение Ian » 27 май 2021, 09:12

Ian писал(а):так матрица V из каких элементов состоит (числа или кто), почему их можно перемножать и по каким правилам (правила умножения числовых матриц я знаю), и если V симметрична то след квадрата не меньше чем 1/n * квадрат следа (так как это суммы собственных чисел) , а если не симметрична то это еще вопрос
Ну все, спасибо,я разобрался. Матрица V n*n из действительных чисел, а не из какой другой фигни. Причем симметричная. Для нее работает нетривиальное неравенство [math], так как след инвариантен относительно ортогонального преобразования базиса, и существует собственный базис
Мужики, форум для тех у кого проблемы с пониманием, когда бы все все понимали никто бы ничего не писал тут

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 27 май 2021, 14:25

Судя по тому, что можно переписать это через Коши-Буняковского для скалярного произведения $(A,B)=\mathop{\rm Tr}(A^T B)$, должно быть всегда верно $\mathop{\rm Tr}(V^TV)\geq\frac1n(\mathop{\rm Tr}V)^2$. Это можно и впрямую показать, расписывая покомпонентно и применяя все то же $\overline{x^2}-\overline x^2\geq0$.

zykov писал(а):Source of the post Нужно яснее выражать свои мысли.
Так и спрашивать тоже нужно уметь. Когда написано $V=\sum_i x_iv_i\otimes v_i$, вопрос "что такое V?" выглядит по меньшей мере странно. Если какая-то буква в определении непонятна, про нее и надо спросить, иначе получается, как в анекдоте про Дирака :lol:

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

физтех-21

Сообщение zykov » 27 май 2021, 15:29

peregoudov писал(а):Source of the post Так и спрашивать тоже нужно уметь.

Не приходило в голову, почему у Вас не спрашивают?
Вопрос риторический. Систематическое токсичное поведение с Вашей стороны отбивает всякую охоту общатся.
Нужно что-то делать со своим характером...

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

физтех-21

Сообщение peregoudov » 27 май 2021, 16:08

Так вот и я не понимаю, почему нельзя общаться нормально? Почему, если что-то непонятно, нельзя переспросить, уточнить? У меня не спрашивают, я спрашиваю --- мне не отвечают...


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 11 гостей