Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение peregoudov » 12 май 2021, 15:58

Для независимых событий $a_1$, $a_2$, ... вероятность из одновременного наступления просто равна произведению вероятностей отдельных событий $P(a_1\ldots a_n)=P(a_1)\ldots P(a_n)$. А как построить двустороннюю оценку $P(a_1\ldots a_n)-P(a_1)\ldots P(a_n)$, если события не являются независимыми?

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение Ian » 13 май 2021, 12:02

Минимум [math] равен 0, если противоположными событиями можно покрыть все вероятностное пространство, то есть [math]. В противном случае он равен [math]- минимальная мера, которая будет не покрыта противоположными событиями.
Максимум [math] равен [math] -вероятности наименее вероятного события в системе.А остальные события могут включать в себя это и не повлияют на вероятность

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение peregoudov » 16 май 2021, 23:02

Ничего не понял... Можно написать априорные оценки, зависящие только от $n$?

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение Ian » 17 май 2021, 08:52

Вы хотели узнать насколько близко [math] к [math]. Я предположил что числа [math] даны, но о независимости никакой информации нет. Тогда задача на экстремумы , макс и мин.[math] имеет вот такие решения, откуда можно вывести и экстремум разности.
А что же еще предполагать "данными параметрами"? Или задача вообще без данных?

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение peregoudov » 17 май 2021, 10:56

Ну, давайте я поясню на примере двух событий.

Пусть $i_1\ldots i_n$ --- n-значное двоичное число (маска наступления событий) и пусть $p_{i_1\ldots i_n}$ --- вероятность того, что k-ое событие наступило, если $i_k=1$, и не наступило, если $i_k=0$. Имеем

$$ \sum_i p_i=1,\quad P(a_1\ldots a_n)=p_{1\ldots 1},\quad P(a_k)=\sum_{i,i_k=1}p_i. $$

В случае двух событий у нас есть $p_{00}$, $p_{01}$, $p_{10}$ и $p_{11}$, причем

$$ p_{00}+p_{01}+p_{10}+p_{11}=1, $$

а интересует нас величина

$$ d=p_{11}-(p_{01}+p_{11})(p_{10}+p_{11}). $$

Получается классическая задача нелинейного программирования на тетраэдре

$$ p_{01}\geq0,\quad p_{10}\geq0,\quad p_{11}\geq0,\quad p_{01}+p_{10}+p_{11}\leq1. $$

Нетрудно убедиться, что градиент $d$ нигде не обращается в нуль, так что максимум/минимум достигаются на поверхности тетраэдра. Рассматривая линии уровня $d$ на гранях тетраэдра, приходим к выводу, что минимум достигается при $p_{01}=p_{10}=1/2$, $p_{00}=p_{11}=0$ и равен -1/4, а максимум достигается при $p_{01}=p_{10}=0$, $p_{00}=p_{11}=1/2$ и равен 1/4. То есть в данном случае
$-1/4\leq d\leq1/4$.

Хочется распространить эту оценку на произвольные n. Вот так в лоб через нелинейное программирование будет затруднительно, нужны вероятностные соображения.

Я не вижу, как из ваших рассуждений получить хотя бы вот эти $\pm1/4$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение Ian » 17 май 2021, 17:46

Да, другая модель, но кажется с ростом n эти "универсальные границы " приблизятся к естественным пределам от -1 до 1 и не будут информативны

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение peregoudov » 18 май 2021, 12:29

Есть предположение, что в общем случае решение устроено примерно так же, как для n=2. Максимум достигается при ненулевых $p_{0\ldots0}$ и $p_{1\ldots1}$ и нулевых всех остальных вероятностях, равен он $(n-1)n^{-n/(n-1)}$ (максимум функции $d=p_{1\ldots1}-p_{1\ldots1}^n$).
Минимум же достигается при ненулевых $p_{1\ldots10_k1\ldots1}=1/n$ (то есть отличны от нуля лишь вероятности наступления всех событий, кроме одного, k-ого) и нулевых всех остальных вероятностях и равен $-(1-1/n)^n$. Последний при увеличении n к единице вовсе не стремится.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий

Сообщение Ian » 18 май 2021, 17:47

Оба "предположения" можно строго получить. Для максимизации разности можно сначала максимизировать зависимость величин друг от друга, то есть свести к 0 все случаи, когда одно событие случается а другое нет. и останутся только два ненулевых, которые у Вас.
Для минимизации (сначала при постоянных вероятностях каждого события) , как уже говорил, противоположные события не должны пересекаться вовсе, то есть вероятности с индексами, в которых два и более нулей- отсутствовать. Обозначим далее ваше [math], и мы еще не уверены, должна ли быть нулевой [math] , но получающаяся функция n переменных по каждому из [math] имеет неположительные частные производные, значит для минимизации каждую из этих переменных можно увеличивать за счет [math] и та станет равна 0, а дальше максимум произведения при постоянной сумме будет при равенстве. И действительно границы убывающие до [math] но это же тоже очень много


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей