Точная сумма ряда
Точная сумма ряда
to zykov : это то что я Вам прикреплял в ЛС пару дней назад, пришло?
----------
Задача 5 мне кажется всем интересная и до конца у меня не досчитана.
Начал так:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Точная сумма ряда
Ну, в общем, идея в том, чтобы сумму представить как известную функцию плюс более быстро сходящийся ряд, для которого потом поменять порядок суммирования, ибо . То есть надо, чтобы сумма сходилась как . Тот же самый прием разбиения на элементарные слагаемые , нужно только подобрать и коэффициенты линейной комбинации. Скажем,
а потому
В сумме от первой скобки почти все слагаемые сокращаются, остается , произведение на дает поэтому исходная сумма равна
В оставшейся сумме меняем порядок суммирования, в результате получаем, что она равна единице, а полная сумма -1/2.
а потому
В сумме от первой скобки почти все слагаемые сокращаются, остается , произведение на дает поэтому исходная сумма равна
В оставшейся сумме меняем порядок суммирования, в результате получаем, что она равна единице, а полная сумма -1/2.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Точная сумма ряда
Первая забавная. Обозначим , тогда
Независимо от всегда . Дальше очевидное решение при . Два первых члена вычисляем вручную , .
Независимо от всегда . Дальше очевидное решение при . Два первых члена вычисляем вручную , .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Точная сумма ряда
По третьей: напишем , тогда . Вроде бы должно быть , потому что , а любое другое приводится в окрестность с множителем с помощью -кратного применения функционального уравнения.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Точная сумма ряда
По четвертой можно уточнить условие? Имеется в виду произвольная вещественная квадратная матрица или что-то более хитрое означает? --- единичная матрица?
Пусть все собственные числа вещественны. Тогда, пользуясь приведением к жордановой форме
Остается нарисовать графики и и убедиться, что они меняют знак одновременно. Так что в обоих произведениях все сомножители попарно совпадающих знаков, стало быть, и знак произведений одинаков.
Если среди собственных значений есть комплексно сопряженные пары , то жорданова форма усложняется, появляются клетки и , которым будут соответствовать множители и , оба положительные.
Пусть все собственные числа вещественны. Тогда, пользуясь приведением к жордановой форме
Остается нарисовать графики и и убедиться, что они меняют знак одновременно. Так что в обоих произведениях все сомножители попарно совпадающих знаков, стало быть, и знак произведений одинаков.
Если среди собственных значений есть комплексно сопряженные пары , то жорданова форма усложняется, появляются клетки и , которым будут соответствовать множители и , оба положительные.
Последний раз редактировалось peregoudov 04 май 2021, 15:28, всего редактировалось 1 раз.
Точная сумма ряда
По третьей- решение получившегося функционального уравнения - это неподвижная точка сжимающего (с q=1/3) отображения. Выделим пространство непрерывных функций на [-R,R], оно будет отображаться в себя, значит отображение имеет одну неподвижную точку - нулевую функцию.Из этого и ваша g=0. Для этого нужна была непрерывность, без нее неверно.
По пятой- я свой способ довел , там оставалась одна строчка (найти предел по N), ответ совпал -1/2.
По остальным согласен
По пятой- я свой способ довел , там оставалась одна строчка (найти предел по N), ответ совпал -1/2.
По остальным согласен
Точная сумма ряда
По первой - а Вы не заметили, что [math]
Да, и по 4й упомянуть про возможность комплексных собственных чисел действительной матрицы, их сгруппировать попарно, не изменят решения
Да, и по 4й упомянуть про возможность комплексных собственных чисел действительной матрицы, их сгруппировать попарно, не изменят решения
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Точная сумма ряда
По четвертой я как раз писал дополнение, там громоздко.
По первой: это опять-таки только для и следует из , но мне это было не нужно, вот и не заметил.
По третьей: да, вот хотелось как-то изящнее, а то у меня колхозно.
По первой: это опять-таки только для и следует из , но мне это было не нужно, вот и не заметил.
По третьей: да, вот хотелось как-то изящнее, а то у меня колхозно.
Точная сумма ряда
По второй
Точная сумма ряда
По пятой.
При больших будет .
После умножения на это всё стремится к 2. Значит после вычитания 2 будет что-то малое, что мы уже суммируем.
Вобщем идея такая, чтобы эту "2" разбить на части (представить в виде суммы), внести под сумму по и поменять порядок суммирования.
Так например - телескопическая сумма.
Т.е. сумма равна
При больших будет .
После умножения на это всё стремится к 2. Значит после вычитания 2 будет что-то малое, что мы уже суммируем.
Вобщем идея такая, чтобы эту "2" разбить на части (представить в виде суммы), внести под сумму по и поменять порядок суммирования.
Так например - телескопическая сумма.
Т.е. сумма равна
Точная сумма ряда
У задачи 7 какое-то условие невнятное.
Спрашивают про вероятность, но не задали никаких вероятностей.
Вобщем я понял так, что из текущей вершины он равновероятно перемещается в любую другую из трёх.
Т.е. получается стандартная задача на Марковские процессы - как-то не олимпиадно.
Начальный вектор .
Матрица перехода , где , матрица - матрица 4x4 в которой везде "1".
Тогда после шагов вектор будет , искомая вероятность - это первый элемент этого вектора (или верхний левый элемент матрицы ).
Единственная "олимпиадность" - найти матрицу .
Стандартный подход - перейти в базис, где она диагональна.
Но можно короче, учитывая что , что можно раскрыть как бином Ньютона и учесть, что .
Получим вероятность .
Значит .
PS: "correct tetrahedron" - это вообще вершины китайского (видимо хотели сказать "regular tetrahedron")
Спрашивают про вероятность, но не задали никаких вероятностей.
Вобщем я понял так, что из текущей вершины он равновероятно перемещается в любую другую из трёх.
Т.е. получается стандартная задача на Марковские процессы - как-то не олимпиадно.
Начальный вектор .
Матрица перехода , где , матрица - матрица 4x4 в которой везде "1".
Тогда после шагов вектор будет , искомая вероятность - это первый элемент этого вектора (или верхний левый элемент матрицы ).
Единственная "олимпиадность" - найти матрицу .
Стандартный подход - перейти в базис, где она диагональна.
Но можно короче, учитывая что , что можно раскрыть как бином Ньютона и учесть, что .
Получим вероятность .
Значит .
PS: "correct tetrahedron" - это вообще вершины китайского (видимо хотели сказать "regular tetrahedron")
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Точная сумма ряда
Да, тоже была сначала такая идея, но не сообразил, что тоже надо учесть, а потом взялся доделывать за Ian'омzykov писал(а):Source of the post Вобщем идея такая, чтобы эту "2" разбить на части (представить в виде суммы), внести под сумму по
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 8 гостей