- NC-21.jpg (136.33 KiB) 17657 просмотра
North Countries -21
North Countries -21
В задаче 5 опечатку жюри поправило в первые полчаса, вместо верхнего предела 1-e стоит, конечно, e-1. Красиво.
North Countries -21
По задаче 1.
Рассмотрим на той же области . Она так же непрерывна и ограничена.
Обозначим и .
Обе непрерывны и ограничены.
Первая не возрастает, значит имеет конечный предел .
Вторая не убывает, значит имеет конечный предел .
При этом и . Иначе была бы неограничена.
Если , то любая последовательность подходит.
Если и , то легко подобрать последовательность исходя из определения .
Аналогично, если и , то легко подобрать последовательность исходя из определения .
Если и , то для любого можно найти , такой что из определения .
Далее, для этого можно найти , такой что из определения .
Из непрерывности можно найти между и , такой что . Это и будет очередной .
Таким образом получится последовательность состоящая из нулей .
Рассмотрим на той же области . Она так же непрерывна и ограничена.
Обозначим и .
Обе непрерывны и ограничены.
Первая не возрастает, значит имеет конечный предел .
Вторая не убывает, значит имеет конечный предел .
При этом и . Иначе была бы неограничена.
Если , то любая последовательность подходит.
Если и , то легко подобрать последовательность исходя из определения .
Аналогично, если и , то легко подобрать последовательность исходя из определения .
Если и , то для любого можно найти , такой что из определения .
Далее, для этого можно найти , такой что из определения .
Из непрерывности можно найти между и , такой что . Это и будет очередной .
Таким образом получится последовательность состоящая из нулей .
North Countries -21
По задаче 2.
Удобнее прейти на язык линейного пространства над . Тогда миноры должны быть не вырожденные (не равны нулю).
При подходит матрица с единицами во всех элементах.
При подходит матрица с единичной диагональю.
При подходящих матриц нет.
Предположим, что есть такая матрица.
Возъмем любые строк этой матрицы и из них любые столбцов. Получим столбцов-векторов размерности .
Первые векторов линейно зависимы. Если один из коэффициентов их нулевой линейной комбинации равен 0, то этот столбец можно выкинуть. Значит оставшиеся столбцов линейно зависимы и их минор равен нулю - противоречие.
Если все коэффиценты равны 1, то последний столбец равен сумме первых столбцов.
В этом случае позъмем первые столбцов и столбец . Аналогично, они линейно зависимы. Если есть ненулевой коэффициент, то получаем противоречие. Если все коэффициенты равны 1, то столбец равен сумме первых столбцов, т.е. он равен столбцу . Значит любой минор содержащий столбцы и будет равен нулю - противоречие.
При есть подходящая матрица.
Для первых строк и столбцов возъмем невырожденную матрицу, а именно матрицу с единичной диагональю.
Чтобы любой минор из первых строк был невырожденным, нужно чтобы последний столбец был равен сумме всех предыдущих, т.е. содержал едиинцы в первых элементах. Аналогично и последняя строка.
Последний угловой элемент (n,n) равен сумме всех других элементов последней строки (или аналогично, последнего столбца). Т.е. он равен 0, если нечётный, или равен 1, если чётный.
Все другие миноры порядка этой матрицы тоже ненулевые.
Удобнее прейти на язык линейного пространства над . Тогда миноры должны быть не вырожденные (не равны нулю).
При подходит матрица с единицами во всех элементах.
При подходит матрица с единичной диагональю.
При подходящих матриц нет.
Предположим, что есть такая матрица.
Возъмем любые строк этой матрицы и из них любые столбцов. Получим столбцов-векторов размерности .
Первые векторов линейно зависимы. Если один из коэффициентов их нулевой линейной комбинации равен 0, то этот столбец можно выкинуть. Значит оставшиеся столбцов линейно зависимы и их минор равен нулю - противоречие.
Если все коэффиценты равны 1, то последний столбец равен сумме первых столбцов.
В этом случае позъмем первые столбцов и столбец . Аналогично, они линейно зависимы. Если есть ненулевой коэффициент, то получаем противоречие. Если все коэффициенты равны 1, то столбец равен сумме первых столбцов, т.е. он равен столбцу . Значит любой минор содержащий столбцы и будет равен нулю - противоречие.
При есть подходящая матрица.
Для первых строк и столбцов возъмем невырожденную матрицу, а именно матрицу с единичной диагональю.
Чтобы любой минор из первых строк был невырожденным, нужно чтобы последний столбец был равен сумме всех предыдущих, т.е. содержал едиинцы в первых элементах. Аналогично и последняя строка.
Последний угловой элемент (n,n) равен сумме всех других элементов последней строки (или аналогично, последнего столбца). Т.е. он равен 0, если нечётный, или равен 1, если чётный.
Все другие миноры порядка этой матрицы тоже ненулевые.
North Countries -21
По задаче 5.
Если упомянутый предел для данного равен , то , т.е. .
Тогда упомянутый интеграл равен .
Если упомянутый предел для данного равен , то , т.е. .
Тогда упомянутый интеграл равен .
North Countries -21
По задаче 7, если не строго.
Рассмотрим функцию , такую что .
Тогда будет .
Функция стремится к нулю как .
Значит её интеграл стремится к конечной константе. Пусть это будет соответствующим выбором константы интегрирования.
Вобщем нужное решение должно быть почти равно .
Наверно можно показать, что их разность к нулю стремится.
Рассмотрим функцию , такую что .
Тогда будет .
Функция стремится к нулю как .
Значит её интеграл стремится к конечной константе. Пусть это будет соответствующим выбором константы интегрирования.
Вобщем нужное решение должно быть почти равно .
Наверно можно показать, что их разность к нулю стремится.
North Countries -21
zykov писал(а):Source of the post По задаче 7, если не строго.
Если построже, то будет:
Тогда
Значит
При больших заведомо , а (если там конечно решение не комплексное).
Так что не получается найти решение.
North Countries -21
Про 7ю. Из вашего последнего на этот момент поста можно вывести, что y' в некоторой окрестности бесконечности не может обращаться в 0, значит у монотонно стремится к константе и это ничему не противоречит, асимптотика y' такая как в предпоследнем (тоже оговариваюсь- НА ЭТОТ МОМЕНТ- посте). Строже можно было бы сжимающие отображения подтащить в каком-нибудь [math] или в [math] с весом [math] но сомневаюсь что участники этим занимались, спешка
North Countries -21
Ian писал(а):Source of the post можно вывести, что y' в некоторой окрестности бесконечности не может обращаться в 0, значит у монотонно стремится к константе и это ничему не противоречит
Да нет, там одно значение строго больше нуля, а второе строго меньше нуля. При этом первое должно было быть не больше второго, так что там противоречие.
North Countries -21
Понятно, это я тут "минус потерял".
Вместо
Должно быть
Тогда
Значит
Тогда всё хорошо.
И , и стремятся к нулю как .
Значит интеграл каждой стремится к константе как .
Вместо
Должно быть
Тогда
Значит
Тогда всё хорошо.
И , и стремятся к нулю как .
Значит интеграл каждой стремится к константе как .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
North Countries -21
Задачку с логарифмами можно переписать попроще, если сделать дробно-линейное преобразование и аналогично для b. Тогда нужно доказать
North Countries -21
peregoudov писал(а):Задачку с логарифмами можно переписать попроще, если сделать дробно-линейное преобразование и аналогично для b. Тогда нужно доказать
Ну это то за что и боролись. Тогда это эквивалентно простому факту о выпуклости
[math]
[math]
[math] выпукла или нет во всей области x<0 , исследуется через 2-ю производную. Если выпукла, то и неравенство верно
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
North Countries -21
Она выпукла. Я тоже все думал, как к выпуклости свести, но так и не додумал.
По четвертой: а там можно применить нормы ? Они, случайно, не вложены друг в друга?
По четвертой: а там можно применить нормы ? Они, случайно, не вложены друг в друга?
North Countries -21
Ian писал(а):Source of the post [math] выпукла или нет
Она вроде вообще не определена.
При будет . Значит внутренний логарифм неопределен.
При будет . Значит и внешний логарифм неопределен.
Там другая подойдёт: .
North Countries -21
В номер 4 там нет опечаток?
А то как-то странно, то знак постоянный в сумме (при нечётных ), то чередуется (при чётных ).
Или я это не так понял?
А то как-то странно, то знак постоянный в сумме (при нечётных ), то чередуется (при чётных ).
Или я это не так понял?
North Countries -21
Нечетная через дзета-функцию выражается [math]zykov писал(а):В номер 4 там нет опечаток?
А то как-то странно, то знак постоянный в сумме (при нечётных ), то чередуется (при чётных ).
Или я это не так понял?
Я пытался доказать, что четная (которая знакопеременная) больше следующей за ней нечетной, благодаря огромной скорости убывания членов А сейчас понял, что любая четная меньше 1цы, а любая нечетная больше. Печально
North Countries -21
И я про то.
Знакопостоянный ряд в сумме даёт больше 1 (первое слагаемое равно 1). Значит и корень больше 1.
Знакопеременный ряд даёт меньше 1. Значит и корень меньше 1.
Ни о какой монотонности и речи нет.
Может там везде должна быть знакопостоянная сумма?
Тогда наверно идея peregoudov работает. Причём даже не важно, что именно там суммируется. Главное, что быстро сходится.
Знакопостоянный ряд в сумме даёт больше 1 (первое слагаемое равно 1). Значит и корень больше 1.
Знакопеременный ряд даёт меньше 1. Значит и корень меньше 1.
Ни о какой монотонности и речи нет.
Может там везде должна быть знакопостоянная сумма?
Тогда наверно идея peregoudov работает. Причём даже не важно, что именно там суммируется. Главное, что быстро сходится.
North Countries -21
Про номер 4, численный эксперимент показал, что если там всегда знакопеременная сумма, то последовательность убывает (тут важна "2", без неё оно возрастает).
Наверно эта задача так и задумывалась, что в числителе стоит .
Для знакопостоянной суммы оно тоже верно (корень из двух убывает и корень суммы убывает), но для знакопеременной оно поинтереснее.
Наверно эта задача так и задумывалась, что в числителе стоит .
Для знакопостоянной суммы оно тоже верно (корень из двух убывает и корень суммы убывает), но для знакопеременной оно поинтереснее.
North Countries -21
Решения жюри. Многое подозрительно тут
North Countries -21
Да, для номер 4 всё таки чередуются знакопостоянная и знакопеременная суммы.
Решение у них какое-то муторное - длинное, техничное (понятно, что технически можно дожать эти неравенства) и не олимпиадное.
Решение у них какое-то муторное - длинное, техничное (понятно, что технически можно дожать эти неравенства) и не олимпиадное.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 7 гостей