Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение zykov » 21 апр 2021, 16:02

peregoudov писал(а):Source of the post Гораздо труднее оценить поведение при $r\to0$.

Почему?
Я уже ранее писал:
zykov писал(а):Source of the post В нуле он $$1-\frac{{{r}^{2}}}{6}+\frac{{{r}^{4}}}{40}-\frac{19 {{r}^{6}}}{5040}+\frac{619 {{r}^{8}}}{1088640}-\frac{17117 {{r}^{10}}}{199584000}+\frac{1208293 {{r}^{12}}}{93405312000}+\mbox{...}$$.

Радиус сходимости небольшой. Наверно чуть больше 2.5.
Легко и больше членов добавить, но общей формулы ряда не вижу.
Последний раз редактировалось zykov 21 апр 2021, 16:16, всего редактировалось 1 раз.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение peregoudov » 21 апр 2021, 16:15

Так это только одно конкретное решение.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение zykov » 21 апр 2021, 16:16

zykov писал(а):Source of the post (Без потери общности при $n\neq 1$ можно положить $u_0=1$ просто изменяя масштаб $u$ и $r$.)

При $n=1$ тоже самое, но масштаб $r$ менять не нужно, т.к. там линейное уравнение.


peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение peregoudov » 21 апр 2021, 18:47

Это вы к чему? Если по поводу "одного конкретного решения", так у нас уравнение второго порядка, решение должно зависеть от двух произвольных постоянных. Масштабная инвариантность уравнения позволяет ввести одну постоянную как масштабный множитель (в моих переменных это тривиальный сдвиг по t), но от второй-то решение зависит нетривиально...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение zykov » 21 апр 2021, 20:21

peregoudov писал(а):Source of the post решение должно зависеть от двух произвольных постоянных

Если рассматривать ОДУ вообще, то да.
Но у нас то речь про "Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца".
Начальное условие $u(0)=u_0$ и $u'(0)=0$, так что только одна постоянная, и от той можно избавится масштабированием.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение peregoudov » 22 апр 2021, 10:14

Похоже, это решение как раз исключительное, остальные вроде бы имеют особенность в нуле типа $\frac{\ln r}r$.

А что с n>5? На dxdy писали, якобы решений нет. Но при $r\to\infty$ там вообще все в порядке, затухание правильного знака. А при $r\to0$, наверное, тоже можно построить решение в виде ряда...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение zykov » 22 апр 2021, 11:05

На википедии (Lane–Emden equation) первые два члена привели, которые от $n$ не зависят при $u_0=1$.
$$u(r)=u(0)-\frac{u(0)^n}{6}r^2+O(r^4)$$
Для любого конкретного $n$ ряд можно без проблем вручную продолжить.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение zykov » 22 апр 2021, 11:16

Там же, на вики, написано: "For $n$ between 0 and 5, the solutions are continuous and finite in extent, with the radius of the star given by $R=\alpha \xi _{1}$, where $\theta_{n}(\xi_{1})=0$."
Видимо в приложении к газовым облакам $n$ от 0 до 5 - "хороший".

А вообще не вижу причин, чтобы не было вообще решений при $n>5$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца

Сообщение zykov » 22 апр 2021, 11:29

Там мне кажется больше разница в том, чётный или нет $n$.
При чётном $n$ если $u$ зашел в минус, то там вообще говоря будет убегание вниз.
При нечётных сила всегда обратно к 0 направлена, так что будут колебания.

Вот для $n=7$ возьмем уравнение в Ваши переменных:
$$v''+\frac{1}{3}v'-\frac{2}{9}v+v^7=0$$
Потенциальная яма 8-ой степени, плюс квадратичная горка.
При $n=3$ (вообще при $n<5$) было линейное "антитрение", которое этот осцилятор разгоняло.
При $n>5$ будет линейное трение, которое его тормозит.
Как-то со временем он будет к одному из двух минимумов стремится $v_0 = \pm\sqrt[6]{\frac 2 9}$.
(Внутри минимума - это линейный осцилятор с линейным трением, что совсем просто.)
Значит $u$ будет выглядеть как $u(r)=r^{-1/3} v_0$.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 9 гостей