n-мерный объем

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

n-мерный объем

Сообщение Ian » 15 апр 2021, 17:34

zykov писал(а):Она есть, только явно не выписана, т.к. целью была асимптотика. Выразите $k$ как точный корень квадратного уравнения $\frac{n+k^2-1}{n} \cos \alpha = (n-2)(\frac{k-1}{n})^2 + 2(\frac{k-1}{n})(1+\frac{k-1}{n})$.
Будет $$k = \sqrt{\frac{1+(n-1)\cos \alpha }{1-\cos \alpha}}$$.
Подставьте в формулу для $V$ и получится $V = k (1-\cos \alpha)^{n/2}$.
Действительно, у нас одинаковые ответы

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 15 апр 2021, 18:29

zykov писал(а):
Albus. писал(а):Source of the post Вообще-таки сам объем тоже стремится к нулю

Для шара последовательность формально стремится к нулю при любом выборе единиц измерения.
Но это не отменяет некорректности сравнения.
Живой пример - тот же параллелепипед. Если стророна 0.5м, то последовательность стремится к нулю. Если та же строна - 50см, то последовательность стремится к бесконечности.

Да, разумеется под "безразмерным объемом" я имел ввиду объем, которые измеряется в объемах гиперкуба с единичной длиной стороны. Ну или если говорить про физическое пространство, то просто сторону определенного гиперкуба выбрать за единицу, и все длины и объемы измерять в долях от него. Тогда непонятно, почему надо рассматривать именно "описанный" вокруг шара куб

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

n-мерный объем

Сообщение zykov » 15 апр 2021, 22:05

Потому что вот совсем простой пример - гиперкубы со стороной 0.5 и гиперкубы со стороной 2.
Последовательность объёмов первых стремится к нулю, для вторых - к бесконечности.
Ну и что? Никакого геометрического смысла тут нет. И там, и там одинаковая последовательность геометрических фигур.

А то что последовательность безразмерных величин "отношение объема гипершара к объему описанного вокруг него гиперкуба" стремится к нулю, имеет смысл. Смысл в том, что этот гипершар занимает всё меньший процент от гиперкуба, вплоть до бесконечно малого. Если например бросать равномерно случайно точки внутри гиперкуба, то вероятность попасть в гипершар будет падать с ростом размерности. Падать до бесконечно малой вероятности.

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 15 апр 2021, 23:01

zykov
Вы согласны, что "Для шара последовательность формально стремится к нулю при любом выборе единиц измерения." более сильное утверждение, чем "что отношение объема гипершара к объёму описанного вокруг него гиперкуба стремится к нулю."? Потому что второе выполняется и для параллелограмма (который не куб).
zykov писал(а):Потому что вот совсем простой пример - гиперкубы со стороной 0.5 и гиперкубы со стороной 2.
Последовательность объёмов первых стремится к нулю, для вторых - к бесконечности.
Ну и что? Никакого геометрического смысла тут нет. И там, и там одинаковая последовательность геометрических фигур.

А зачем он нужен? Пусть у нас обычное пространство $R^n$ (тогда любой гиперобъем априори безразмерен, как и длины), как в матане, тогда в этом есть алгебраический смысл - в первом случае убывающая геом. прогрессия, а во втором возрастающая.

zykov писал(а):А то что последовательность безразмерных величин "отношение объема гипершара к объему описанного вокруг него гиперкуба" стремится к нулю, имеет смысл. Смысл в том, что этот гипершар занимает всё меньший процент от гиперкуба, вплоть до бесконечно малого. Если например бросать равномерно случайно точки внутри гиперкуба, то вероятность попасть в гипершар будет падать с ростом размерности. Падать до бесконечно малой вероятности.

Унылый элементарный факт, а "Для шара последовательность формально стремится к нулю при любом выборе единиц измерения." нетривиальнее и интересней.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

n-мерный объем

Сообщение zykov » 15 апр 2021, 23:05

Ключевое слово тут "формально".
А важно то, что геометрический смысл тут отсутствует.
"Интереснее" оно может быть только от недостатка понимания смысла.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

n-мерный объем

Сообщение Ian » 16 апр 2021, 09:44

zykov писал(а):А важно то, что геометрический смысл тут отсутствует.
"Интереснее" оно может быть только от недостатка понимания смысла.
Вы взялись доказывать, что задача нехорошая? У меня ассоциировалось с viewtopic.php?f=4&t=801 задача 3. Там надо найти/оценить n-объем выпуклой оболочки некоторой кривой с сильным кручением, в определении которой вообще пренебрегают размерностью, в частности разные координаты одной и той же точки вообще имеют разную размерность. НУ И ЧТО. СПбГУ выбрал эту задачу как лучшую, которую он может предложить на олимпиаду северных стран (кстати следующая в это воскресенье, отчитаюсь), а международное жюри выделило ее среди всех предложенных и включило.

Вот кстати она снова, чтоб не гулять по ссылкам
problems-NCUMC-2019.pdf
(211.55 KiB) Загружено 338 раз


Subject of this topic попроще, но на региональной студенческой была бы уместна

PS. мне кажется такие названия олимпиад выдумываются чтобы не приглашать сша, ведь их вашингтон южнее неаполя)
Ах да у них же еще по недоразумению Аляска. Ну пусть только с Аляски университеты и участвуют)
Последний раз редактировалось Ian 16 апр 2021, 12:01, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

n-мерный объем

Сообщение zykov » 16 апр 2021, 10:33

Ian писал(а):Source of the post Вы взялись доказывать, что задача нехорошая?

Речь не про задачу.
Речь про неаккуратность в утверждении "$n$-мерный гиперобъем шара стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$".
На википедии это утверждение имеет более аккуратную форму "отношение объема n-мерного шара к объему описанного вокруг него n-куба быстро уменьшается с ростом n, быстрее, чем $2^{-n}$".

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 17 апр 2021, 01:02

zykov писал(а):Ключевое слово тут "формально".

Я кстати хотел спросить, почему формально? Что изменится, если это слово убрать? :)
zykov писал(а):А важно то, что геометрический смысл тут отсутствует.

А почему должен быть только геометрический смысл?
zykov писал(а):"Интереснее" оно может быть только от недостатка понимания смысла.

Или от того, что не хотите видеть другие смыслы, помимо геометрического (например алгебраический)

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 17 апр 2021, 01:05

zykov писал(а):
Ian писал(а):Source of the post Вы взялись доказывать, что задача нехорошая?

Речь не про задачу.
Речь про неаккуратность в утверждении "$n$-мерный гиперобъем шара стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$".
На википедии это утверждение имеет более аккуратную форму "отношение объема n-мерного шара к объему описанного вокруг него n-куба быстро уменьшается с ростом n, быстрее, чем $2^{-n}$".

Как это не про задачу, когда в той задаче такое же "отсутствие" геометрического смысла, как и в моей :)
А про неаккуратность я уже ответил - дал четкое определение утверждению "$n$-мерный гиперобъем шара стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$", вы назвали его формальным и неинтересным, потом Ian вам привел задачу, где авторы считают иначе :)
А на вики утверждение не аккуратнее, оно просто про другое

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

n-мерный объем

Сообщение zykov » 17 апр 2021, 01:09

Вот вообще простой пример. Есть куб с ребром 2 метра. Грань этого куба - квадрат со стороной 2 метра.
Объем куба - 8 кубических метров. Площадь одной грани 4 квадратных метра.
Что больше, 8 кубических метров или 4 квадратных метра?
Сколько получится, если сложить 8 кубических метров и 4 квадратных метра?
Формально $8>4$ и $8+4=12$.
Но смыла ни эти формальные ответы, ни сами вопросы не имеют.

Albus писал(а):Source of the post (например алгебраический)

К алгебре эта конструкция вообще не имеет отношения.
Алгебра - это про алгебраические свойства таких конструкций как группы, кольца, поля и прочее.

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 17 апр 2021, 01:22

zykov писал(а):Вот вообще простой пример. Есть куб с ребром 2 метра. Грань этого куба - квадрат со стороной 2 метра.
Объем куба - 8 кубических метров. Площадь одной грани 4 квадратных метра.
Что больше, 8 кубических метров или 4 квадратных метра?
Сколько получится, если сложить 8 кубических метров и 4 квадратных метра?
Формально $8>4$ и $8+4=12$.
Но смыла ни эти формальные ответы, ни сами вопросы не имеют.

Я уже говорил, надо рассматривать отношение этих площадей/объемов к единичным, т.е. $\frac{8 m^3}{1 m^3}=8$ и $\frac{4 m^2}{1 m^2}=4$, тогда эти безразмерные числа сравнимы
zykov писал(а):К алгебре эта конструкция вообще не имеет отношения.
Алгебра - это про алгебраические свойства таких конструкций как группы, кольца, поля и прочее.

Хорошо, тогда в смысле матана, где длины множеств в $R$ измеряются в безразмерных действительным числах, площади через двойные интегралы в $R^2$ измеряются в безразмерных действительных числах. Как в задаче Ian, где например координата $y$ равна квадрату координаты $x$

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

n-мерный объем

Сообщение zykov » 17 апр 2021, 07:26

Ian писал(а):Source of the post У меня ассоциировалось с viewtopic.php?f=4&t=801 задача 3.

Ian, в той задаче явно задан масштаб - единичный отрезок $0 \leq x \leq 1$.
Как и в задаче построения квадратного корня.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

n-мерный объем

Сообщение Ian » 17 апр 2021, 13:33

Мне кажется, все что обсуждалось это предварительные соображения к возможной общей модели. Рассмотрим бесконечномерное пространство всевозможных последовательностей действительных чисел [math]. Можно рассматривать в нем разные подмножества
1) сфера радиуса [math]:это [math]
2) равносторонний симплекс с ребром [math] :это [math]
3) куб с ребром [math] :это [math]
4) косой параллелепипед со скосом [math] и ребром [math] -тут задать посложнее но тоже вполне.
Мы будем говорить, что множество имеет нулевой объем, если объем его n- мерного сечения (то есть подмножества [math] ) стремится к 0
Замечательные результаты в том, что 1) и 2) имеют нулевой объем при любом значении параметра.
Ну и мы обсудили:
3) при [math], 4) при [math]
А чем например хуже другой тип симплекса [math] ? Еще какие-то аналоги известных тел? И при чем тут нафиг размерность?
И видимо, компактность в одной из p- норм влечет нулевой объем, а обратное точно неверно (хоть те симплекс и сфера)

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 17 апр 2021, 14:55

zykov писал(а):
Ian писал(а):Source of the post У меня ассоциировалось с viewtopic.php?f=4&t=801 задача 3.

Ian, в той задаче явно задан масштаб - единичный отрезок $0 \leq x \leq 1$.
Как и в задаче построения квадратного корня.

Ну так у меня тоже подразумевается масштаб - единичный отрезок.
И отыскание таких фигур, объем которых стремится к нулю при любом значении параметра (как у Ian выше) весьма нетривиальная задача :)

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 17 апр 2021, 15:04

Ian писал(а):Source of the post А чем например хуже другой тип симплекса a≥x1≥x2≥....≥0 ?

Да ничем, он тоже подходит :)
Ian писал(а):Source of the post Еще какие-то аналоги известных тел?

Я придумал тело, похожее на параллелограмм. Строим его так - берем какой-то отрезок (1-мерие), потом переносим его параллельно самому себе, и равномерно уменьшаем по ходу движения так, чтобы он в конце уменьшился в $\epsilon$ раз, т.е. получим трапецию с одним прямым углом. (2-мерие) Дальше эту трапецию также параллельно переносим самой себе, и равномерно уменьшаем по масштабу каждую сторону по ходу движения так, чтобы каждая сторона в конце уменьшилась в $\epsilon$ раз, т.е. площадь уменьшилась в $\epsilon^2$ (3-мерие), далее продолжаем так же и т.д. Объем такой фигуры тоже стремится к нулю при любом значении длины начального отрезка $a$ и $\epsilon>1$. Эту фигуру можно представить как часть вытянутого симплекса, т.е. тут тоже вылезает $\frac{1}{n!}$.
Хотелось бы сформулировать общее условие на такие фигуры :)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

n-мерный объем

Сообщение Ian » 17 апр 2021, 15:54

Albus писал(а):Я придумал тело, похожее на параллелограмм. Строим его так - берем какой-то отрезок (1-мерие), потом переносим его параллельно самому себе, и равномерно уменьшаем по ходу движения так, чтобы он в конце уменьшился в $\epsilon$ раз, т.е. получим трапецию с одним прямым углом. (2-мерие) Дальше эту трапецию также параллельно переносим самой себе, и равномерно уменьшаем по масштабу каждую сторону по ходу движения так, чтобы каждая сторона в конце уменьшилась в $\epsilon$ раз, т.е. площадь уменьшилась в $\epsilon^2$ (3-мерие), далее продолжаем так же и т.д. Объем такой фигуры тоже стремится к нулю при любом значении длины начального отрезка $a$ и $\epsilon>1$. Эту фигуру можно представить как часть вытянутого симплекса, т.е. тут тоже вылезает $\frac{1}{n!}$.
Хотелось бы сформулировать общее условие на такие фигуры :)
Тогда каждая вершина виртуального симплекса (где 2я трапеция съежилась бы в 0) является центром гомотетии для пары упомянутых трапеций. Получается
5) усеченный симплекс с ребром [math] :это [math]

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

n-мерный объем

Сообщение Albus » 21 апр 2021, 19:12

Ian
Если взять $n$-мерный куб, и случайно изменить координаты точек (по перпендикулярным осям, скажем равномерно по длине координаты $[0,L]$), то объем полученной фигуры будет стремится к нулю почти наверное :)


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 8 гостей