Портал Естественных Наук, версия 1.1

В векторном пространстве элементов произвольной природы задана псевдонорма [math]||x||\in R, удовлетворяющая только свойству положительной однородности [math]||ax||=|a|\cdot ||x||\; \forall a\in R, а также тождеству параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон) [math]||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2. Доказать, что формула
[math](x,y)=\frac 14(||x+y||^2-||x-y||^2) определяет псевдоскалярное произведение -симметричную функцию двух переменных со свойствами
1)[math](x+y,z)=(x,z)+(y,z)
2)[math](ax,y)=a(x,y)(однородность)
Так вот, если первое свойство с некоторым трудом выводится (см пдф) и для норм, и для псевдонорм, то второе, казалось бы более простое - выводится только для рациональных [math]a, либо для обычных норм с использованием положительности и неравенства треугольника. А без них не удалось И что это может означать: в псевдонормированном пространстве (например, пространстве Минковского, используемого в СТО) псевдоскалярное произведение, определяемое этой нормой, может быть либо однородным, либо функцией хаоса (как решения функционального уравнения Коши [math]f(x+y)=f(x)+f(y) существуют не только линейные [math]f(x)=kx но и такие f, график которых всюду плотно разбросан по всей плоскости)

Ian писал(а):Source of the post выводится только для рациональных

Если добавить требование непрерывности (естественное с точки зрения физики), то тогда верно и для иррациональных.

А откуда такая задача?
Кто-то задал или просто любопытно посмотреть?

zykov писал(а):Если добавить требование непрерывности (естественное с точки зрения физики), то тогда верно и для иррациональных.

А кванты? Обнаружили, что у оператора Шредингера дискретный спектр. До этого понимали на уровне экспериментов, кому-то где-то что-то показалось.Так функция хаоса в качестве скалярного произведения точно не будет противоречить любому эксперименту. А главное, не противоречит аксиомам.
Эта задача -часть аксиоматического построения функционального анализа. Аксиомы топологических пространств, аксиомы линейных пространств, аксиомы метрики, аксиомы нормы, аксиомы скалярного произведения. И вот тут есть вариант ослабить, псевдонорма и превдоскалярное произведение, нам и их читали. Коначно 2/3 теорем о нормированных и гильбертовых пространствах перестанут работать, но кое-что останется, почему бы и не изучить "не непрерывный" вариант скалярных произведений.

Ian писал(а):Source of the post А кванты? Обнаружили, что у оператора Шредингера дискретный спектр

Дискретность спектра и разрывность функции - совершенно разные вещи.