Псевдоскалярное произведение

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Псевдоскалярное произведение

Сообщение Ian » 12 апр 2021, 13:10

4_copy.pdf
(75.16 KiB) Загружено 331 раз
В векторном пространстве элементов произвольной природы задана псевдонорма [math], удовлетворяющая только свойству положительной однородности [math], а также тождеству параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон) [math]. Доказать, что формула
[math] определяет псевдоскалярное произведение -симметричную функцию двух переменных со свойствами
1)[math]
2)[math](однородность)
Так вот, если первое свойство с некоторым трудом выводится (см пдф) и для норм, и для псевдонорм, то второе, казалось бы более простое - выводится только для рациональных [math], либо для обычных норм с использованием положительности и неравенства треугольника. А без них не удалось И что это может означать: в псевдонормированном пространстве (например, пространстве Минковского, используемого в СТО) псевдоскалярное произведение, определяемое этой нормой, может быть либо однородным, либо функцией хаоса (как решения функционального уравнения Коши [math] существуют не только линейные [math] но и такие f, график которых всюду плотно разбросан по всей плоскости)

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Псевдоскалярное произведение

Сообщение zykov » 12 апр 2021, 19:42

Ian писал(а):Source of the post выводится только для рациональных $a$

Если добавить требование непрерывности (естественное с точки зрения физики), то тогда верно и для иррациональных.

А откуда такая задача?
Кто-то задал или просто любопытно посмотреть?

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Псевдоскалярное произведение

Сообщение Ian » 13 апр 2021, 00:28

zykov писал(а):Если добавить требование непрерывности (естественное с точки зрения физики), то тогда верно и для иррациональных.
А кванты? Обнаружили, что у оператора Шредингера дискретный спектр. До этого понимали на уровне экспериментов, кому-то где-то что-то показалось.Так функция хаоса в качестве скалярного произведения точно не будет противоречить любому эксперименту. А главное, не противоречит аксиомам.
Эта задача -часть аксиоматического построения функционального анализа. Аксиомы топологических пространств, аксиомы линейных пространств, аксиомы метрики, аксиомы нормы, аксиомы скалярного произведения. И вот тут есть вариант ослабить, псевдонорма и превдоскалярное произведение, нам и их читали. Коначно 2/3 теорем о нормированных и гильбертовых пространствах перестанут работать, но кое-что останется, почему бы и не изучить "не непрерывный" вариант скалярных произведений.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Псевдоскалярное произведение

Сообщение zykov » 13 апр 2021, 01:54

Ian писал(а):Source of the post А кванты? Обнаружили, что у оператора Шредингера дискретный спектр

Дискретность спектра и разрывность функции - совершенно разные вещи.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей