Разложение интеграла по параметру
Добавлено: 05 апр 2021, 10:41
Есть у меня одна задачка, и решение ее приводит к интегралу
Функции f и g довольно сложные, поэтому для начала укажу асимптотики
Функция g монотонная. Функция f на самом деле осциллирует, так что асимптотика на бесконечности --- это ограничение на модуль сверху.
Мне нужно построить разложение при . Пакость в том, что g(x) обращается в нуль в нуле, поэтому простое разложение подынтегрального выражения не работает.
Есть такой смешной общий метод построения подобных разложений --- преобразование Меллина (не то, которое обратное к Лапласу, другое)
Воспользуемся равенством
где вертикальный контур C проходит между s=0 и s=1. Тогда исходный интеграл можно переписать в виде
Контур C должен проходить там, где сходится интеграл по x, то есть между s=0 и s=1/2. Чтобы вычислить интеграл по s, нужно знать лишь особенности внутреннего интеграла по x, а их есть надежда вычислить и при сложных функциях f, g.
В данном случае предположительно имеется особенность при s=1/2. Но вот выделить ее явно и понять ее характер у меня не получается... Можно и напрямую анализировать исходный интеграл, если есть какие-то другие идеи. Больше всего напрягает вот этот логарифм в асимптотике g.
Функции f и g довольно сложные, поэтому для начала укажу асимптотики
Функция g монотонная. Функция f на самом деле осциллирует, так что асимптотика на бесконечности --- это ограничение на модуль сверху.
Мне нужно построить разложение при . Пакость в том, что g(x) обращается в нуль в нуле, поэтому простое разложение подынтегрального выражения не работает.
Есть такой смешной общий метод построения подобных разложений --- преобразование Меллина (не то, которое обратное к Лапласу, другое)
Воспользуемся равенством
где вертикальный контур C проходит между s=0 и s=1. Тогда исходный интеграл можно переписать в виде
Контур C должен проходить там, где сходится интеграл по x, то есть между s=0 и s=1/2. Чтобы вычислить интеграл по s, нужно знать лишь особенности внутреннего интеграла по x, а их есть надежда вычислить и при сложных функциях f, g.
В данном случае предположительно имеется особенность при s=1/2. Но вот выделить ее явно и понять ее характер у меня не получается... Можно и напрямую анализировать исходный интеграл, если есть какие-то другие идеи. Больше всего напрягает вот этот логарифм в асимптотике g.