Страница 1 из 1
Максимум площади треугольника
Добавлено: 12 фев 2021, 17:16
Dolly
Здраствуйте.
Заинтересовалась такой задачей.
Известно, что стороны треугольника заключены в следующих пределах:
[math]0<a\leqslant 1,~~~1\leqslant b\leqslant 2,~~~2\leqslant c\leqslant 3
Какая может быть максимальная площадь такого треугольника?
Как подступиться к решению?
Если взять две стороны по максимуму: [math]b=2,~~~c=3, то как их расположить, чтобы третья сторона тоже удовлетворяла условию? Не могу сообразить.
Максимум площади треугольника
Добавлено: 12 фев 2021, 17:31
zykov
То
, т.е.
и треугольник схлопывается в одно измерение, и его площадь зануляется.
Т.е.
и
должны быть другие.
Максимум площади треугольника
Добавлено: 12 фев 2021, 17:36
zykov
Можно "в лоб" искать, через
формулу Герона.
Т.е. нужно максимизировать многочлен
при заданных ограничениях.
Получается площадь
при
,
,
.
Максимум площади треугольника
Добавлено: 12 фев 2021, 18:00
zykov
Зная ответ можно подогнать решение.
Сначала отбрасываем ограничение на
.
Ищем максимум, для которого очевидно максимальными должны быть
,
и синус угла между ними (т.е. угол прямой).
Замечаем, что полученный
удовлетворяет нашему ограничению, и делаем вывод, что этот глобальный экстремум так же даёт максимум при учёте ограничения на
.
Максимум площади треугольника
Добавлено: 12 фев 2021, 21:19
Dolly
zykov, спасибо.
А что значит "зная ответ"?
Я поняла Вашу логику так: среди всех треугольников с двумя сторонами [math]a,b, которые удовлетворяют условиям [math]0<a\leqslant 1,~~~1\leqslant b\leqslant 2, максимальную площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами [math]a=1,~~~b=2, т.к. высота, опущенная на [math]b, не превышает [math]a.
Тогда его гипотенуза [math]c=\sqrt 5 удовлетворяет условию [math]2\leqslant c\leqslant 3, и значит, среди всех возможных треугольников он имеет максимальную площадь.
Я правильно поняла Вашу идею?
Тогда тем более зачем эта оговорка "зная ответ"?
Максимум площади треугольника
Добавлено: 12 фев 2021, 23:33
zykov
Правильно.
Потому что я сначала решил общим методом через формулу Герона (таким методом можно для любых ограничений искать).
А потом, уже зная ответ, нашел это простое решение для данных конкретных ограничений.
Но конечно простое решение можно было и сразу найти.
Я тут использовал формулу площади
. Из неё следует, что нужно брать максимальные
,
и синус.
Максимум площади треугольника
Добавлено: 13 фев 2021, 07:53
Dolly
zykov писал(а):Source of the post Потому что я сначала решил общим методом через формулу Герона
Не знала, что это универсальный метод.
Да, действительно, простое и ясное.
zykov, огромное спасибо.
Максимум площади треугольника
Добавлено: 13 фев 2021, 11:28
zykov
Универсальный в рамках вопроса о площади треугольника при ограничениях на длины сторон.
В том смысле, что применим для ограничений любой формы.