Начальник подбросил забавную статью. В ней некие болгарские ученые утверждают, что разработали способ быстро рассчитать значение функции
заданной своими коэффициентами разложения по сферическим гармоникам. Причем для N=750 авторы декларируют ускорение счета в 500 раз.
Внимательное изучение статьи показало, что от прямого вычисления приведенной выше суммы авторы не избавились. Просто они предлагают делать это на пространственной сетке с 30х1498х2977=135 000 000 узлами, после чего интерполировать, используя 6х18х18=1944 ближайших узла. Ускорение же в 500 раз относится именно к интерполяции, а не к первоначальному вычислению 135 000 000 значений.
Что мне нравится и что не нравится в такой схеме? Не нравится то, что в сетке гораздо больше точек, чем коэффициентов (последних 750х740=560 000). Нравится идея, что далекие узлы сетки не дают существенного вклада в интерполяцию. Авторы обосновывают этот момент с помощью изобретенных ими нидлетов (needlets, видимо, по аналогии с вэйвлетами) --- функций вида
где на отрезке [0,1], а затем гладко спадает до нуля. Утверждается, что любой "тригонометрический полином" (линейная комбинация и ) степени не выше N является собственным вектором интегрального оператора с ядром с собственным значением 1 (элементарно проверяется), и что для гладких ядро экспоненциально быстро спадает при раздвижке аргументов (вот это хотелось бы понять подробнее).
Так вот, нельзя ли придумать какой-то способ расчета представленной выше суммы, основанный на задании не коэффициентов , а каких-то других параметров (предположительно --- значений V на какой-то сетке), так чтобы для восстановления значений V можно было ограничиться меньшим числом слагаемых в сумме?
Ускорение расчета функции, заданной разложением по сферическим гармоникам
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Ускорение расчета функции, заданной разложением по сферическим гармоникам
Это близко к ядру Дирихле https://ru.wikipedia.org/wiki/Ядро_Дирихлеperegoudov писал(а):
где на отрезке [0,1], а затем гладко спадает до нуля. Утверждается, что любой "тригонометрический полином" (линейная комбинация и ) степени не выше N является собственным вектором интегрального оператора с ядром с собственным значением 1 (элементарно проверяется), и что для гладких ядро экспоненциально быстро спадает при раздвижке аргументов (вот это хотелось бы понять подробнее).
и оно сворачивается
[math]
[math]
а вот по чему экспоненциально это я не понял
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Ускорение расчета функции, заданной разложением по сферическим гармоникам
Но тут бесконечная сумма и функция f определена не только на отрезке [0,1]. Хотя получается, что их нидлет равен сумме ядра Дирихле и функции, ортогональной ко всем тригонометрическим полиномам степени не более N. И тогда в представлении через нидлет остается только функция Дирихле, то есть они даже ничего нового не придумали.
Но, в принципе, если мы хотим вычислять тригонометрический полином на сфере, то есть смысл перейти от коэффициентов разложения по сферическим гармоникам к значениям на сетке: ведь ядро Дирихле вычислить проще, чем сферические функции.
Но, в принципе, если мы хотим вычислять тригонометрический полином на сфере, то есть смысл перейти от коэффициентов разложения по сферическим гармоникам к значениям на сетке: ведь ядро Дирихле вычислить проще, чем сферические функции.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей