В целых числах. Не только в натуральных

[Ian]

Уравнение [math]x^5+y^5+z^5=a не имеет решений в целых числах при [math]a=81,82,83,84

[zykov]

Доказать?
2^5=32, 3^5=243, дальше ещё бытрее растёт.
Сумма трёх может быть 65, 96. Между ними быть не может.

[Ian]

Одно или два из чисел x,y,z могут быть отрицательными. Кстати при a=0 (и запрете любой неизвестной равняться 0) это равносильно теореме Ферма.
Жду еще три дня потом подсказку пришлю

[Swetlana]

[math]x+y+z \neq 0, т.к.
если [math]x+y+z = 0, то [math]x^5+y^5+z^5 = -5BC,
где [math]B = xy+yz+xz; [math]C = xyz.
Но 81, 82, 83, 84 не делятся на 5.

[Ian]

Swetlana , значит x+y+z не делится на 5, и что?
Например [math]1^5+0^5+2^5\equiv 3(mod5), как и 83, значит по модулю 5 противоречия нет

[Swetlana]

Да! надо отдельно рассматривать случай, когда одно из чисел равно 0. Я его не рассмотрела.
Если [math]x+y+z=0 и [math]z=0, то [math]x=-y и [math]a= 0, противоречие.
Если [math]x+y+z<0 и [math]z=0, то [math]x<-y и [math]x^5+y^5 = a <0, противоречие.

[Swetlana]

Swetlana , значит x+y+z не делится на 5, и что?
Например [math]1^5+0^5+2^5\equiv 3(mod5), как и 83, значит по модулю 5 противоречия нет

Кстати, [math]1+0+2 = 3, а я рассматриваю только случай [math]x+y+z = 0.

[zykov]

Одно или два из чисел x,y,z могут быть отрицательными.

И что с того?
Всё равно 5ая степень быстро растёт, так что до 80-90 не добратся. (imho, очевидно)
Даже при n=3 разница [math]n^5-2(n-1)^5 будет больше 90. А дальше оно ещё больше будет.

Если отсортировать числа в порядке убывания модуля, то будет три случая.
1) Два наибольших одинковы по модулую и разные по знаку.
Тут сумма - просто 5ая степень целого. Не подходит.
2) Два наибольших одинаковы по модулую и по знаку.
Тут сумма [math]2n^5 \pm m^5 (m<n), что будет в диапазоне от [math]2n^5 - (n-1)^5 до [math]2n^5 + (n-1)^5.
Для n=2 это от 63 до 65, для n=3, это от 454 и более. Дальше ещё больше. Ничего не подходт.
Или просто [math]3n^5, что даёт 3, 96 и т.д. Ничего не подходит.
3) Два наибольших разные.
Тут сумма будет в диапазоне от [math]n^5 - 2(n-1)^5 до [math]n^5 + 2(n-1)^5.
При n=2 - от 30 до 34, при n=3 - от 179 до 307 и т.д. Ничего не подходит.

[Ian]

Одно или два из чисел x,y,z могут быть отрицательными.

И что с того?
Всё равно 5ая степень быстро растёт, так что до 80-90 не добратся. (imho, очевидно)
Даже при n=3 разница [math]n^5-2(n-1)^5 будет больше 90. А дальше оно ещё больше будет.

Вот тут неверно, эта самая разница нас обманет и устремится к минус бесконечности
А то так и великую Т.Ферма можно было бы доказать

Я все-таки поспешу с подсказкой
[math]x^5+y^5+z^5+t^5=a, аналогично, не имеет решений в целых числах при [math]a=82,83

[zykov]

Вот тут неверно, эта самая разница нас обманет и устремится к минус бесконечности

Да, верно. Моя ошибка.
Такой подход не поможет.

[Swetlana]

Можно решить перебором - рассматривать все случаи для x,y,z (знаки и кто кого больше), для каждого случая устраивать перебор (он небольшой), и так для каждого a.

1. Например, есть ли решение в целых числах [math]x^5-y^5=82.
Записываем разложение: [math](x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^2+y^4)=82.
Рассматриваем случай [math]x \geq y
Тогда [math]x-y \geq 1, скобка \geq 5y^4.
Отсюда получаем [math]y^4\leq \frac{82}{5} = 16.4.
Получаем набор возможных значений [math]y: 0, 1, 2, проверяем для каждого [math]y.

Аналогичная техника для трёх переменных.
Например, случай, когда [math]x\geq 0; y,z \leq 0.
[math]x^5-y^5-z^5=82.
Рассматриваем случай [math]y \geq z, делаем оценку [math]x^5-y^5-z^5 \geq x^5-2y^5.
[math]x^5-2y^5 раскладываем на сомножители, см. п.1.

И так для каждого случая и для всех [math]a.

[Ian]

Для двух переменных работает, для трех тут бесконечный перебор.
Задача со школьной олимпиады, 10й класс, но кажется заочной, есть один момент, затрудняющий быстро найти решение в очной олимпиаде. Но оно все равно короткое.

[Swetlana]

А почему бесконечный?
Нахожу верхнюю оценку для [math]y, она же будет верхней оценкой для [math]z, нижняя оценка у них - [math]0. Получается конечное число точек [math](y,z), для каждой точки ищем значение [math]x из уравнения с одной переменной.

[Swetlana]

Думала, получу оценки из дополнительных соотношений x-y-z<0 (x-y-z>0) - не получается, увы.

[zykov]

Раз по скорости роста не отсекается, то такие задачи можно попробовать по модулю простого числа проанализировать, как Светлана предлагала.

5 и 7 не сработали.
Для 11 вышло, что модуль 5ой степени всегда 0, 1 или 10 (оно же -1). Приведенные числа по модулю 11 дают 4, 5, 6, 7. А сумма три раза пятых степеней может быть 0, 1, 2, 3, -1 (10), -2 (9), -3 (8). Т.е. не пересекается.

PS: imho, школьникам без компьютера долго вручную перебирать.

[Swetlana]

ещё помучилась с оценками, ничего не получилось
завтра попробую ещё считать третью переменную параметром

[Ian]

Swetlana, так zykov же решил!
Я бы так начал.
По малой теореме Ферма либо [math]x делится на 11. либо [math]x^{10}-1=(x^5-1)(x^5+1) делится на 11. Отсюда: остатки от деления любой 5-й степени на 11 равны 0,1 или -1.
Сомнительно насчет знания МТФ 10-классниками, а решиться находить первые 5 остатков (остальные противоположны выйдут) -это надо время или комп.
Ну а дальше все ясно, суммируя три таких слагаемых, мы можем удалиться от решетки чисел, кратных 11, не более чем на 3, значит [math]4,5,6,7(mod11) получиться не может.
Задача обобщается на сумму некоторого количества,не более чем [math]k-1, [math]k-х степеней ,где [math]2k+1-простое

[Swetlana]

Значит не буду мучится)) zykov'у гип-гип ура)))
(Тот пост в 4 часа ночи (утра) писала. Я щас болею, днём сплю, ночью пытаюсь чем-то заняться, хоть и не соображаю.)

[zykov]

H1N1?

[Swetlana]

[off]
Неделю лечилась от гриппа, была высокая t. Потом выяснилось, что ни гриппа, ни вообще ничего вирусного у меня не было. Щас лечусь уже по-хорошему. А гриппом я ещё не болела
[/off]