Портал Естественных Наук, версия 1.1

Формула для суммы получается [math]\frac {24}{x_1-1}, но как доказать

Обозначим



Тогда .
Отсюда

Получим телескопическую сумму:

Действительно, если функция [math]f(n) такова, что существует [math]F(n)\to 0:F(n)-F(n+1)=f(n), то сумма ряда [math]\sum_1^{\infty}f(n)=F(1). У нас [math]F(n)=\frac 1{x_n-1},\;f(n)=\frac 1{x_n}.
Пытаюсь подобрать f ,F чтобы условие представляло собой удобное но сложное рекуррентное уравнение, получится генератор олимпиадных задач для 1 курса 1 семестра, что ценно, их не так много существует)

Да, здесь можно обобщить.
Так, если сделать замену , то рекурентное отношение будет . Т.е. получим квадратичную динамическую систему в центрированном виде с . Например используют для демонстрации фрактала Джулия.
Можно составить сумму , где с каким-то параметром .
Если привести к общему знаменателю, то будет квадратный многочлен деленный на кубический многочлен.
Но только при параметрах и этот кубический многочлен делится без остатка на этот квадратный и получается красиво.
(Там остаток равен .)

Ian писал(а):Source of the post $F(n)−F(n+1)=f(n)$

Это просто значит, что .
Т.е. если есть формула для конечной суммы (как например для геометрической или арифметической прогрессий), то из неё можно соорудить телескопическую сумму.