Сумма ряда из рекурсий

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 709
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма ряда из рекурсий

Сообщение Ian » 21 янв 2021, 10:01

24xn.jpeg
24xn.jpeg (26.28 KiB) 1618 просмотра

Формула для суммы получается [math], но как доказать

zykov
Сообщений: 1060
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из рекурсий

Сообщение zykov » 21 янв 2021, 16:34

Обозначим
$$y_k=x_k-1$$
$$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{y_k+1}$$

Тогда $$y_{k+1} = y_k(y_k+1)$$.
Отсюда $$\frac{1}{y_k + 1} = \frac{1}{y_k} - \frac{1}{y_k(y_k+1)} = \frac{1}{y_k} - \frac{1}{y_{k+1}}$$

Получим телескопическую сумму:
$$S_n = (\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2}) + (\frac{1}{y_2} - \frac{1}{y_3}) + ... + (\frac{1}{y_n} - \frac{1}{y_{n+1}})= \frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_{n+1}}$$

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 709
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма ряда из рекурсий

Сообщение Ian » 22 янв 2021, 12:49

Действительно, если функция [math] такова, что существует [math], то сумма ряда [math]. У нас [math].
Пытаюсь подобрать f ,F чтобы условие представляло собой удобное но сложное рекуррентное уравнение, получится генератор олимпиадных задач для 1 курса 1 семестра, что ценно, их не так много существует)

zykov
Сообщений: 1060
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из рекурсий

Сообщение zykov » 22 янв 2021, 15:06

Да, здесь можно обобщить.
Так, если сделать замену $z_n = x_n - \frac12$, то рекурентное отношение будет $z_{n+1} = z_n^2 + \frac14$. Т.е. получим квадратичную динамическую систему в центрированном виде с $c=\frac14$. Например используют для демонстрации фрактала Джулия.
Можно составить сумму $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} s_n$$, где $$s_n = \frac{1}{z_n+b} - \frac{1}{z_{n+1}+b}$$ с каким-то параметром $b$.
Если привести к общему знаменателю, то будет квадратный многочлен деленный на кубический многочлен.
Но только при параметрах $b=-\frac12$ и $c=\frac14$ этот кубический многочлен делится без остатка на этот квадратный и получается красиво.
(Там остаток равен $(2b+1)z_n - c+b^2$.)

zykov
Сообщений: 1060
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда из рекурсий

Сообщение zykov » 22 янв 2021, 22:07

Ian писал(а):Source of the post $F(n)−F(n+1)=f(n)$

Это просто значит, что $F(n) = C - \sum f(n)$.
Т.е. если есть формула для конечной суммы (как например для геометрической или арифметической прогрессий), то из неё можно соорудить телескопическую сумму.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 7 гостей