Тригонометрия с олимпиады
Тригонометрия с олимпиады
олимпиада студенческая. возможно это существенно
Тригонометрия с олимпиады
Забубенная какая-то задача.
Правая часть выражается через радикалы (как известно ), в левой каждый из косинусов через радикалы не выражается, но их сумма вот будет.
Можно подумать, что справа стоит , где , и сделать вывод,
что действительная часть суммы трёх экспонент слева равна действительной части экспоненты справа (с коэффициентом). Это так, но сами комплексные числа не равны - там мнимые части разные.
Правая часть выражается через радикалы (как известно ), в левой каждый из косинусов через радикалы не выражается, но их сумма вот будет.
Можно подумать, что справа стоит , где , и сделать вывод,
что действительная часть суммы трёх экспонент слева равна действительной части экспоненты справа (с коэффициентом). Это так, но сами комплексные числа не равны - там мнимые части разные.
Тригонометрия с олимпиады
Вот есть совсем не олимпиадное, дуболомное решение через полиномы Чебышева.
Если обозначить , то .
(При переходе к квадратам легко показать, что сумма не равна нулю.)
Получаем:
Раскрываем скобки и получаем (можно руками, я делал через Maxima):
Теперь Maxima выделяет 3 множителя отсюда:
Только множитель зануляется при . Докажем, что он равен нулю.
Далее, как известно, .
Можно найти НОД многочленов и .
Опуская детали, заметим что многочлен имеет корень .
Значит , где
Наш - это корень многочлена , т.к. он корень многочлена .
Делим многочлен на , получаем , где
Значит , т.к. . Значит равенство верно.
Если обозначить , то .
(При переходе к квадратам легко показать, что сумма не равна нулю.)
Получаем:
Раскрываем скобки и получаем (можно руками, я делал через Maxima):
Теперь Maxima выделяет 3 множителя отсюда:
Только множитель зануляется при . Докажем, что он равен нулю.
Далее, как известно, .
Можно найти НОД многочленов и .
Опуская детали, заметим что многочлен имеет корень .
Значит , где
Наш - это корень многочлена , т.к. он корень многочлена .
Делим многочлен на , получаем , где
Значит , т.к. . Значит равенство верно.
Тригонометрия с олимпиады
Да, в принципе, зная разложение многочлена на множители, можно попробовать подобрать тригонометрическое решение.
Тригонометрия с олимпиады
Имеется ввиду, что из вот такой штуки:
можно как-то вычленить множитель .
Сделать это точно можно. Например разложив всё в многочлен от .
Вопрос в том, как это сделать попроще?
можно как-то вычленить множитель .
Сделать это точно можно. Например разложив всё в многочлен от .
Вопрос в том, как это сделать попроще?
Тригонометрия с олимпиады
Если интересно, вот код для Maxima:
Два последних деления дают ноль в остатке, т.е. делится без остатка.
Выдаёт такое:
Код: Выбрать все
load (orthopoly);
p7:chebyshev_t(7,x),ratsimp;
p8:chebyshev_t(8,x),ratsimp;
p12:chebyshev_t(12,x),ratsimp;
p18:chebyshev_t(18,x),ratsimp;
Q:(2*(p8+p12+p18)-p7)^2-7*(1-p7^2),ratsimp;
px7:p7-(sqrt(5)+1)/4;
R:divide(Q,px7,x);
R2:divide(px7,R[2],x),ratsimp;
divide(Q*R2[1],px7,x);
divide(Q*(x+(sqrt(5)-1)/4),px7,x);
Два последних деления дают ноль в остатке, т.е. делится без остатка.
Выдаёт такое:
Тригонометрия с олимпиады
Нет идей, как это по олимпиадному решать?
Тригонометрия с олимпиады
Например, .
Или . В первой скобке разность косинусов - представляется как произведение для фаз и . Во второй - арифметическая прогрессия фаз, которую можно свернуть.
Или . В первой скобке разность косинусов - представляется как произведение для фаз и . Во второй - арифметическая прогрессия фаз, которую можно свернуть.
Тригонометрия с олимпиады
Решений жюри, насколько я знаю, не публиковалось к ней. Спасибо, что проверили сам факт.
Тригонометрия с олимпиады
Хотелось бы понять общий подход...
Я бы наверно перефразировал задачу из равенства в "выразить левую часть в радикалах".
Кстати, альфа как то вычисляет это. Если ей дать левую часть, то выдаёт ответ в радикалах.
Каждый их этих трёх косинусов не выражается в радикалах, а их сумма выражается, т.е. явлется "алгебраическим целым".
Вот общий вопрос, если задано какое-то простое тригонометрической выражение (например здесь - сумма трёх косинусов), как проверить, явлется ли это число алгебраическим целым?
Я бы наверно перефразировал задачу из равенства в "выразить левую часть в радикалах".
Кстати, альфа как то вычисляет это. Если ей дать левую часть, то выдаёт ответ в радикалах.
Каждый их этих трёх косинусов не выражается в радикалах, а их сумма выражается, т.е. явлется "алгебраическим целым".
Вот общий вопрос, если задано какое-то простое тригонометрической выражение (например здесь - сумма трёх косинусов), как проверить, явлется ли это число алгебраическим целым?
Тригонометрия с олимпиады
Выразимость с помощью 4-х арифметических действий и квадратных радикалов, используя только целые числа -равносильно возможности построения отрезка данной длины с помощью циркуля и линейки, если есть эталонный единичный отрезокzykov писал(а):Вот общий вопрос, если задано какое-то простое тригонометрической выражение (например здесь - сумма трёх косинусов), как проверить, явлется ли это число алгебраическим целым?
Тригонометрия с олимпиады
zykov писал(а):Source of the post а их сумма выражается, т.е. явлется "алгебраическим целым".
Тут я немного напутал. Правая часть до деления на два была алгебраическим целым. После деления оно уже не целое.
Так что не сумма трёх косинусов - алгебраическое целое, а их удвоенная сумма.
Так что вот ещё путь решения. Удвоенная правая часть - это корень многочлена .
Значит нужно доказать, что - это корень этого многочлена. Нужно просто подставить и упростить. И ещё показать, что это нужный корень из 4 возможных.
Тригонометрия с олимпиады
Там 2 из четырёх корней отрицательные, так что выпадают.
Нужный корень - примерно , другой положительный корень примерно , его надо исключить.
Нужный корень - примерно , другой положительный корень примерно , его надо исключить.
Тригонометрия с олимпиады
zykov писал(а):Source of the post Имеется ввиду, что из вот такой штуки:
можно как-то вычленить множитель .
Там даже проще. Не нужно ничего вычленять.
Если упростить , то получится ноль.
Нужно раскрыть скобки и привести к каноническому виду, когда все слагаемые имеют порядок "один".
(Имеется ввиду, что любое произведение "sin sin", "cos cos", "sin cos" по формуле произведения заменяем на сумму/разность, понижая порядок на 1, пока все слагаемые не будут иметь порядок 1.)
Вот и Maxima сразу ноль выдаёт.
Код: Выбрать все
trigrat((2*(cos(8*%pi/35)+cos(12*%pi/35)+cos(18*%pi/35))-cos(7*%pi/35))^2-7*sin(7*%pi/35)^2)
0
Тригонометрия с олимпиады
Видимо процедура 'trigrat' делает ещё что-то, кроме приведения к каноническому виду, раз она выдаёт ноль.
Попробовал сам привести к этому виду, получилась сумма косинусов, но они не сократились сами.
Вот если выражение умножить на и затем упростить и привести к каноническому виду, то тогда все слагаемые сокращаются и получается ноль.
В принципе это уже можно вручную на бумаге проделать. Но всё равно как-то длинно для олимпиады.
Видимо они там что-то другое имели ввиду.
Попробовал сам привести к этому виду, получилась сумма косинусов, но они не сократились сами.
Вот если выражение умножить на и затем упростить и привести к каноническому виду, то тогда все слагаемые сокращаются и получается ноль.
В принципе это уже можно вручную на бумаге проделать. Но всё равно как-то длинно для олимпиады.
Видимо они там что-то другое имели ввиду.
Тригонометрия с олимпиады
Чтобы пояснить, в чём тут дело, то можно рассмотреть левую часть выражения , как многочлен от .
Само мы не можем явно выразить в радикалах, но можем неявно, как корень многочлена .
Дело в том, что этот многочлен всего имеет 7 корней. Нужный нам - с фазой 1. И ещё 6 фаз: 11, 21, 31, 41, 51, 61.
Т.е. если мы хотим доказать равенство исходя их этого многочлена, то равенство должно быть верно для всех 7 корней. Но оно верно только для трёх корней - фазы 1, 11, 51. Ещё для трёх корней с фазами 31, 41, 61 верно такое же равенство, где синус с минусом. И для фазы 21 левая часть совсем не похожа на правую. Кстати, фаза 21 примечательна тем, что там 7 сокращается и этот косинус можно выразить в радикалах, в отличии от других корней.
Таким образом, если мы комбинируем 3 множителя: исходный , второй и ещё один , то первый зануляется для 3 корней, второй для других 3 корней и третий для оставшегося 7ого корня. Т.е. теперь для любого из семи корней это выражение равно нулю.
Далее, либо можно это выражение представить как многочлен и он будет делится на многочлен , либо раскрыть скобки и упростить - он упростится до нуля.
Само мы не можем явно выразить в радикалах, но можем неявно, как корень многочлена .
Дело в том, что этот многочлен всего имеет 7 корней. Нужный нам - с фазой 1. И ещё 6 фаз: 11, 21, 31, 41, 51, 61.
Т.е. если мы хотим доказать равенство исходя их этого многочлена, то равенство должно быть верно для всех 7 корней. Но оно верно только для трёх корней - фазы 1, 11, 51. Ещё для трёх корней с фазами 31, 41, 61 верно такое же равенство, где синус с минусом. И для фазы 21 левая часть совсем не похожа на правую. Кстати, фаза 21 примечательна тем, что там 7 сокращается и этот косинус можно выразить в радикалах, в отличии от других корней.
Таким образом, если мы комбинируем 3 множителя: исходный , второй и ещё один , то первый зануляется для 3 корней, второй для других 3 корней и третий для оставшегося 7ого корня. Т.е. теперь для любого из семи корней это выражение равно нулю.
Далее, либо можно это выражение представить как многочлен и он будет делится на многочлен , либо раскрыть скобки и упростить - он упростится до нуля.
Тригонометрия с олимпиады
Нашел наконец олимпиадное решение. В принципе и школьник это может решить, но трудно догадатся.
Сначала решаем Диофантовы уравнения. Из находим:
Далее по формулам косинуса суммы/разности получаем:
Осталось показать, что
Для этого используем примечательный факт, что - это корень кубического многочлена (он у меня уже возникал ранее как ). Это общее свойство для , где нечётный. Так этот косинус - это корень многочлена . Но там есть тривиальный корень (для нечётного будет ). Половина остальных корней будет сверху оси X, а другая половина будет снизу оси, симметрично первой половине. Т.е. косинусы нижних равны косинусам верхних. Значит наш многочлен разлагается на множитель первой степени и квадрат многочлена степени . Так для 5 можно получить квадратный многочлен. Для 7 здесь мы получили кубический многочлен. Для 11 будет многочлен 5ой степени и т.д..
Для первого равенства всё просто.
Для второго равенства аналогично можно показать, что .
Сначала возводим в квадрат, потом переходим к каноническому виду и все фазы переводим в первую четверть.
Получим , что равно 7, как было показано выше.
Сначала решаем Диофантовы уравнения. Из находим:
Далее по формулам косинуса суммы/разности получаем:
Осталось показать, что
Для этого используем примечательный факт, что - это корень кубического многочлена (он у меня уже возникал ранее как ). Это общее свойство для , где нечётный. Так этот косинус - это корень многочлена . Но там есть тривиальный корень (для нечётного будет ). Половина остальных корней будет сверху оси X, а другая половина будет снизу оси, симметрично первой половине. Т.е. косинусы нижних равны косинусам верхних. Значит наш многочлен разлагается на множитель первой степени и квадрат многочлена степени . Так для 5 можно получить квадратный многочлен. Для 7 здесь мы получили кубический многочлен. Для 11 будет многочлен 5ой степени и т.д..
Для первого равенства всё просто.
Для второго равенства аналогично можно показать, что .
Сначала возводим в квадрат, потом переходим к каноническому виду и все фазы переводим в первую четверть.
Получим , что равно 7, как было показано выше.
Тригонометрия с олимпиады
Любопытный момент, что тут вообще никак не использовалось то что синус и косинус угла выражаются в радикалах.
Этот факт скорее мешал, уводя в ложном направлении.
Тут вместо мог бы быть какой-то другой угол, например .
(Вообще верно для любого угла , но чтобы завуалировать решение, там должно быть умноженное на дробь.)
Этот факт скорее мешал, уводя в ложном направлении.
Тут вместо мог бы быть какой-то другой угол, например .
(Вообще верно для любого угла , но чтобы завуалировать решение, там должно быть умноженное на дробь.)
Тригонометрия с олимпиады
Кстати, то что видно сразу из многочлена по теореме Виетта: .
Заодно оттуда же видно, что
Заодно оттуда же видно, что
Тригонометрия с олимпиады
zykov писал(а):Source of the post Для этого используем примечательный факт, что - это корень кубического многочлена
Можно вобщем-то этот кубический многочлен не вычленять.
Там по формуле Виетта сразу из видно. Коэффициент при равен нулю, так что .
Тут имеется простой геометрический смысл (так что школьник может и не знать ) - сумма семи векторов равномерно распределенных по окружности равна нулю (видно из симметрии при повороте).
Это по поводу вопроса, как так вышло, что сумма косинусов выражается в радикалах, при том что каждый косинус в радикалах не выражается.
Аналогично можно получить . Значит или .
Для 11: .
И т.д.
Это показывает, как некоторые суммы косинусов могут выражатся как рациональное число, при том что сами косинусы даже не выражаются в радикалах. Та сумма, что была в этой задаче, просто сводится к одной из таких сумм (конкретно - к сумме для 7).
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 12 гостей