Портал Естественных Наук, версия 1.1

[math]F(\xi)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|k|e^{-ikx}\left\{ \int_{-\infty}^{+\infty}\xi(z)e^{ikz}dz\right\} dk
Один автор пишет, что тут выйдет преобразование Гильберта функции [math]\xi, но как это доказать
* видимо определяемое так https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform

Насколько понимаю, мы тут берем Фурье образ от , умножаем его на и переходим обратно.
Т.е. результат должен быть - свертка и прообраза .
Фурье от будет с точностью до множителя (wolfram).

Вот и меня удивило как тут получается

Ну там ещё какая-то трансформация. Видимо индекс "xx" - это вторая производная по "x". Наверно там и будет преобразование Гильберта...

Так ведь ответ написан по той самой ссылке, которую вы и привели в заглавном сообщении, раздел Relationship with the Fourier transform:



В точности ваше выражение, только не с , а с . Так что преобразования Гильберта в чистом виде там точно не выйдет.

Поскольку , то будет преобразование Гильберта от функции, чей фурье-образ равен , то есть от производной .

Спасибо!
Меня еще такой вопрос заинтересовал. В данной статье после обезразмеривания получилось одно конкретное уравнение, и даже явное решение удалось подобрать (арктангенс). А статья посвящена лишь доказательству, что других решений нет (нелинейное все-таки). Но предположим, решения в элементарных функциях не может быть. Чем это хуже? Решили численно, протабулировали, дали алгоритм расчета значений, и стала для практических целей не хуже элементарной (как функции Бесселя). Как часто уравнения в урматфизе обезразмериваются до полного отсутствия параметров? И как это используют? Чисто на эрудицию

Ну, как вам сказать.

Тру-теоретики всегда обезразмеривают уравнения. От доморощенных теоретиков мне приходилось слышать, что это неправильно и типа замазывает физику

Если бы все всегда обезразмеривалось до отсутствия (безразмерных) параметров, все зависимости в физике были бы исключительно степенными. Практически же после обезразмеривания остается некоторое количество безразмерных параметров. Конечно, стараются рассматривать модели попроще, где их немного, но так чтобы обезразмерилось в нуль --- так бывает только в очень простых задачах.

peregoudov писал(а):Если бы все всегда обезразмеривалось до отсутствия (безразмерных) параметров, все зависимости в физике были бы исключительно степенными.

Или экспоненциальными? это же тоже бывает.
И я надеюсь, что и граничные условия останутся без параметров. Например, [math]u|_{x=0}=\sin\frac tT обезразмерится до [math]\sin t, а в уравнении ну пусть один параметр останется, это не так страшно

Возможность обезразмеривания --- это следствие масштабной инвариантности уравнений. Какая здесь может быть экспонента? Только степень.

Если у вас есть исходные размерные параметры , , ... и вы следуете подходу тру-теоретиков, то ответ получаете в виде , где , ... --- безразмерные параметры, а f --- некая универсальная функция для этой задачи. На нее, естественно, никаких ограничений по форме нет.

Но вот так вот как вы хотите, чтобы f была функцией одной переменной, бывает крайне редко. Если бы оно было так, все зависимости в физике были бы исключительно степенными.

Бывают и обратные ситуации, когда размерный анализ тривиален, но интересны именно численные значения нулей f. Например, уровни энергии многоэлектронного атома в приближении неподвижного ядра. Там исходных параметров три: постоянная Планка , заряд и масса электрона. И в энергию они складываются единственным образом --- это Ридберг, то есть все уровни энергии пропорциональны . И суть задачи как раз в том, чтобы вычислить безразмерные коэффициенты пропорциональности.

Я просто сначала не понял кто степенной.
[math]\dot x=kx,\;x(0)=c
[math]f(\frac xc,kt)=\frac xc-e^{kt}=0
Замены (аргументы f) конечно степенные. А f содержит экспоненту. Но f это ведь тоже зависимость в физике? Раз это зависимость. и она в физике. Трудно было сразу понять