Афтерпати к регате

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 14:37

В к 100 ответ 243, 3 в 5й степени. Секунды не хватило
Действительно каждому числу назначить, принадлежит ли оно А,В или ни одному из них- 3 способа

Опс, поспешил
Они не непересекающиеся, а
так, что A не является подмножеством B и B не является подмножеством A
К концу внимательность теряется

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 14:41

У меня 570 (это если не считать пустых подмножеств).

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 14:45

пустые надо считать. Но Вы ближе

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 14:48

Но пустое - оно вроде как подмножество к любому другому...

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 14:51

А ну да, но пустое может быть дополнение к AUB

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 14:53

4^5-3^5-3^5+2^5=570 по формуле включений-исключений

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 14:54

Я имею ввиду, что у меня оба A и B не пустые.
Тогда получается 570, так чтобы одно не было частью другого.

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 15:10

А500

P(P(x))=(P(x))^{10}+x^{30}+Q(x)
Вы предложили

P(x)=e^{i\pi/10}x^3
останется

e^{4i\pi/10}x^9=Q(x)
степень 9.
Но система намекает, что можно и меньше

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 15:24

Ну это только если разрешены комплексные коэффициенты.
Может имелись ввиду только действительные многочлены (раз уж там школьники участвуют).
Тогда может 29 - минимум...

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 15:37

Так неоднозначно выражаться в условии задачи непозволительно. Мне просто интересно стало найти для комплексных

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 16:27

Задним умом, как говорится, зря мы брали задачи по 500.
Нужно было столбцы 300 и 400 сделать.

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 17:03

Ian писал(а):Source of the post Мне просто интересно стало найти для комплексных

Думаю, для комплексных минимум - это 6.
Но они видимо имели ввиду минимум для действительных, который больше.
Наверно задача сложная - не зря она на 500.

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 17:30

6 пробовали.
Если Р кубический, то он именно таков как у Вас, с комплексными коэффициентами. и ответ 9. Просто запишем в неопределенными коэффициентами и все младшие последовательно получатся нули. Но 9 не прошло, значит подразумевались действительные.Там пробовали 30, ясно что это неверно и можно не больше 29

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 17:37

Вот например геометрия за 500 несложная, Примерно такой смысл: Четырехгранная пирамида дает экстремум изопериметрической задачи, найти отношение квадрата объема к кубу полной поверхности. Ясно что она правильная, а дальше вольфрамальфа. Получилось 1/288 с 1го раза, при высоте в

\sqrt 2 Больше стороны основания.

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 17:45

Если интересно, насчет задачи

Число - записанные последовательно степени двойки до степени 2020. Найти остаток деления на 900.

Понятно, что $N=\sum_{k=1}^{2020} 2^k \; 10^{a_k}$ .
Ещё можно заметить, что остаток деления $10^m$

на 900 всегда равен 100 при $m \geq 2$ .
Т.е. искомый остаток равен остатку при делении $M=b_{2020}+100\sum_{k=1}^{2019} b_k$ на 900, где $b_k$

- это остаток от деления $2^k$

на 900.
Как дальше на пальцах сделать - не знаю. Я просто в Matlab посчитал $b_k$

для

(последовательно умножая на 2 и беря остаток при делении на 900).
Можно конечно руками посчитать, но долго. Сам $b_k$

будет периодический. В начале идёт 2, 4, 8 и т.д.. Потом $b_{62}$ будет опять 4, т.е. начинается новый цикл, как с $b_2$

. Так что достаточно посчитать сумму по периоду (период 60, количество периодов 33), по хвосту (с 1982 по 2019 - тут 38 значений) и добавить начальную двойку. И учесть что $b_{2020}=b_{40}=376$ .

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 19:00

Ian писал(а):Source of the post Ясно что она правильная, а дальше вольфрамальфа. Получилось 1/288 с 1го раза, при высоте в $\sqrt 2$ Больше стороны основания.

Да, тут просто получается.
Наверно сложность была в поиске экстремума.

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 19:16

Ответы жюри на К100 действительно 570, на А500 23

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 19:21

zykov писал(а):Source of the post В начале идёт 2, 4, 8 и т.д.. Потом $b_{62}$ будет опять 4, т.е. начинается новый цикл, как с . Так что достаточно посчитать сумму по периоду (период 60, количество периодов 33)

$900=4 \cdot 9 \cdot 25$ .
Это объясняет период 60.
Остаток при делении $2^k$

на 4 имеет вид 2, 0, 0, 0 и т.д., далее одни нули. Поэтому период начинается с $b_2$

.
Остаток при делении $2^k$

на 9 имеет период 6.
Остаток при делении $2^k$

на 25 имеет период 20.

НОК(6,20)=60

zykov · Сообщение **zykov** » 18 июл 2020, 19:25

Ian писал(а):Source of the post на А500 23

Значит А500 про действительные многочлены. Нужно им это было написать явно.
Понятия не имею, как получить 23...
Видимо $P$

должен иметь степень 10 и нужно коэффициенты подогнать, что при больших порядках всё сократилось...
Что-то вроде $P(x)=x^{10}+a x^3+b x^2+c x +d$ .
Если $a=1$

, то степень будет 23.

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2020, 19:32

Вы знали что ответ кончается на 76. почти сразу. Я , как только подключился, понимал как узнать отстаток от деления ответа на 9. (и сразу видел что делится на 3) Этими двумя условиями ответ определялся однозначно. Сидели бы в одной комнате минут на 10 быстрее сдали)

Портал Естественных Наук, версия 1.1