Dolly писал(а):Source of the post что разложение в ряд Тейлора - это вообще способ на все случаи жизни?
Почти.
Те же
можно легко посчитать с любой точностью (а значит и
, да и обратные к ним). Вообще ряд для
сходится для любого аргумента. Но для большого аргумента (например
) было бы так считать не практично. Лучше сначала простыми операциями выразить нужный
или
через
, где
(или даже
, если использовать
. В этой области ряд сходится очень быстро - всего несколько слагаемых дадут большую точность. А учитывая, что ряд знакопеременный и слагаемые убыват по абсолютной величине, то поочередно суммы дают то оценку сверху, то оценку снизу, с каждым разом всё более точную.
То же самое для
при
, там тоже ряд знакопеременный.
Для натурального логарифма тоже легко оценить через ряд.
Недавно в журнале "Наука и жизнь" за 5-2020 была статья
"Его величество логарифм" про историю вычисления логарифмов. Так ещё в 1614 году Джон Непер опубликовал таблицу логарифмов - несколько лет считал умножением возводя в степень. Только позже Николаус Меркатор в 1668 открыл, что ряд
. После этого считать логарифмы стало гораздо проще.
Так для любого
его можно представить в виде
, где
, а
- целое число. Тогда
. Для
ряд сходится довольно быстро (хотя не так быстро, как для
) и он тоже знакопеременный, что позволяет получить оценки сверху и снизу, если нужно строгое неравенство.