Ускорение сходимости ряда

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Ускорение сходимости ряда

Сообщение peregoudov » 23 мар 2020, 12:58

Есть ряд вида $\sum_{n=1}^\infty f(n)$, где $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-c^2}\,(x^2-c^2+a^2)(x^2-c^2+b^2)}$$. Как видно, сходится он слабенько, как $1/n^3$. Но известно, что есть методы ускорения сходимости подобных рядов. Наверное, самый известный --- пересуммирование Пуассона: если $F(k)$ --- Фурье-образ $f(x)$, то

$$ \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\sum_{n=-\infty}^\infty F(2\pi n). $$

В частности,

$$ \sum_{n=-\infty}^\infty \frac1{1+n^2}=\pi\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-2\pi|n|}. $$

Нетрудно убедиться, что два члена ряда справа дают пять правильных значащих цифр в ответе, чтобы получить такую же точность в ряде слева нужно просуммировать 50 000 членов.

Нет ли какого-то способа и интересующий меня ряд пересуммировать так, чтобы для вычисления достаточно было нескольких первых членов? Вычисление этого ряда (который произошел из интеграла, взятого вычетами, можно потом и исходный интеграл обсудить) стоит у меня в глубоко внутреннем цикле, так что ускорение вычисления ряда существенно ускорило бы всю программу.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 23 мар 2020, 22:24

peregoudov писал(а):Source of the post что есть методы ускорения сходимости подобных рядов

Честно говоря, не слышал.
А какие примерно по величине могут быть $a$, $b$ и $c$?

peregoudov писал(а):Source of the post который произошел из интеграла, взятого вычетами

А сам интеграл сложный?
Может проще его численно оценить...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 23 мар 2020, 22:37

peregoudov писал(а):Source of the post где $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-c^2}\,(x^2-c^2+a^2)(x^2-c^2+b^2)}$$

Есть ещё такая идея.
Учитывая что:
$$\frac{x^2}{(x^2-c^2+a^2)(x^2-c^2+b^2)}=\frac{k+1}{x^2-c^2+a^2}-\frac{k}{x^2-c^2+b^2}$$,
где $k=\frac{c^2-b^2}{b^2-a^2}$.
Требуемую сумму можно представить как линейную комбинацию двух однотипных сумм, где каждая из них зависит только от двух параметров.
Возможно, эту новую сумму удастся затабулировать по этим двум параметрам, так чтобы интерполяция дала нужную точность.

Затабулировать (или ещё как-то оценить, например тем же пересуммированием Пуассона) нужно функцию:
$$g(c,a)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-c^2}\,(n^2-c^2+a^2)}$$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Ускорение сходимости ряда

Сообщение Ian » 24 мар 2020, 17:23

peregoudov писал(а):В частности,

$$ \sum_{n=-\infty}^\infty \frac1{1+n^2}=\pi\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-2\pi|n|}. $$
да и вообще, что этот ряд просуммировался, стало сюрпризом
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... o+infinity

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 25 мар 2020, 03:19

Ian писал(а):Source of the post что этот ряд просуммировался, стало сюрпризом

Ну вот эта штука: $\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-2\pi|n|}$, это просто сумма геометрической прогрессии (двух прогрессий).
А чтобы её саму получить, то да - это нетривиально.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Ускорение сходимости ряда

Сообщение peregoudov » 25 мар 2020, 23:36

zykov писал(а):Source of the post А какие примерно по величине могут быть $a$, $b$ и $c$?
$c<1$, a и b в принципе любые.

zykov писал(а):Source of the post А сам интеграл сложный?
Может проще его численно оценить...
Считаю идеологически правильным сводить интегралы к рядам, а не наоборот, если речь идет о дальнейшем численном счете. Но извольте

$$ \int_{-\infty}^\infty\frac{dq}{2\pi}\frac{p\ctg pa (1\pm e^{iqd})}{(q^2-k_n^2)(q^2-k_m^2)}, $$

где $p^2+q^2=\omega^2\!/c^2$, $k_n=\pi n/d$. a, c, d, $\omega$ --- постоянные (a и c --- не те же самые, что в исходных формулах), n и m --- натуральные одинаковой четности. Это резонатор, сопряженный с волноводом, a и d --- геометрические размеры.

В принципе, есть простой способ ускорить сходимость "степенным" образом. Нужно вычесть из членов ряда их асимптотику при больших $n$, как пример

$$ \frac1{1+n^2}-\frac1{n^2}=-\frac1{n^2(1+n^2)}, $$

вычтенная часть суммируется в $\zeta(2)$, а остаток сходится уже как $1/n^4$. Если вычесть несколько членов асимптотики, остаток будет еще быстрее сходится. Но это все равно будет степень, а не экспонента...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 26 мар 2020, 02:42

peregoudov писал(а):Source of the post $c<1$, a и b в принципе любые.

Хорошо.
Главное, что в знаменателе не возникает близких к нулю значений, и значит нет больших выбросов в слагаемых.
С этим можно было бы справится, но всё равно были бы проблемы с табуляцией.
С даипазоном для a и b тоже нужно как-то опеределится. Хотя бы статистически.
Например, чтобы с вероятностью 99.9% число попадало в область интерполяции по таблице. А в редких случаях, когда число за пределами, можно и полную сумму посчитать.

peregoudov писал(а):Source of the post Но это все равно будет степень, а не экспонента...

Честно говоря, у меня большие сомнения, что удастся добится экспоненциального убывания.
(Если бы это было так, то это был бы широко известный очень полезный для вычислений метод.)
Фурье образ конечно есть, но если его не выразить явно в аналитическом виде, то толку от него мало.
Могу только дать технические рекомендации, как сократить время расчёта во внутреннем цикле.

1) Общая рекомендация - суммировать не с начала, а с конца (от маленьких к большим). Это позволит уменьшить эффект накопления ошибки округления.
2) Для хвоста суммы ($\sum_{n=n_1}^\infty f(n)$, где $n_1$ большое) несложно получить через интегралы оценки сверху и снизу, так чтобы относительная ошибка стремилась к нулю с ростом $n_1$. Эти оценки дадут как саму оценку для суммы хвоста, так и оценку ошибки для этой оценки. Т.е., достаточно напрямую просуммировать небольшое количество первых слагаемых (где-то 100-1000 в зависиимости от требуемой точности), а к этой сумме добавить оценку суммы хвоста выраженную в виде аналитической формулы.
3) Ещё лучше для ускорения работы внутреннего цикла провести табуляцию, чтобы находить значение интерполяцией ближайших значений в таблице. Для двух параметров при сетке 1000 на 1000 таблица займет всего 8Мб - мелочи. При сетке 10000 на 10000 таблица уже будет 800Мб, что уже не мало, но вполне приемлимо для современного домашнего компьютера.
Тут наверно тоже лучше табулировать не саму $g(c,a)$, а её хвост например от $n_1=10$ (хвост должен быть более гладким). Какой именно - нужно поэкспериментировать, чтобы сетка была поменьше, а точность достаточная.
Если нужна высокая точность, то выгоднее не уплотнять сетку, а делать интерполяцию более выского порядка. Либо табулировать несколько порядков производных, либо интерполировать по многим точкам.
4) Мой метод с разностью сумм даёт сбой по точности если $|a-b|$ маленький. Там возникает деление разности близких начений на разность близких значений. Возможно этот случай вообще не актуален. Но если тут тоже нужно считать, то лучше это делать по другому.
Табулировать нужно другую функцию $S(c,a,d)=\sum_{n=1}^\infty f(n,c,a,d)$ (или опять же её хвост), где $$f(x,c,a,d)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-c^2}\,(x^2-c^2+a^2)(x^2-c^2+(a+d)^2)}$$.
Табуляция ведется по параметрам c и a при $d=0$. Затабулировать нужно как саму функцию, так и несколько первых порядков производной по d. Потом во внутреннем цикле нужно будет провести интерполяцию по c и a, а затем считать ряд Тэйлора для маленького по модулю d.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 26 мар 2020, 03:04

peregoudov писал(а):Source of the post В принципе, есть простой способ ускорить сходимость "степенным" образом. Нужно вычесть из членов ряда их асимптотику при больших $n$, как пример

$$ \frac1{1+n^2}-\frac1{n^2}=-\frac1{n^2(1+n^2)}, $$

Тоже неплохой подход.
Только нужно позаботиться об ошибке округления.
В данном простом случае разность сократилась и упростилась.
Но в общем случае будет возникать разность близких величин при вычислении слагаемого, что даст большую ошибку округления.
Так например для $g(c,a)$ нужно будет считать $n^3-\sqrt{n^2-c^2}\,(n^2-c^2+a^2)$.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Ускорение сходимости ряда

Сообщение peregoudov » 26 мар 2020, 09:57

zykov писал(а):Source of the post Хорошо.
Главное, что в знаменателе не возникает близких к нулю значений, и значит нет больших выбросов в слагаемых.
Но идеологически --- плохо, потому что в f(x) особенности на вещественной оси. К тому же точки ветвления, а ветвление --- вообще штука для комплексного анализа весьма неприятная...

zykov писал(а):Source of the post С даипазоном для a и b тоже нужно как-то опеределится. Хотя бы статистически.
Это не так просто.
zykov писал(а):Source of the post Мой метод с разностью сумм даёт сбой по точности если $|a-b|$ маленький. Там возникает деление разности близких начений на разность близких значений. Возможно этот случай вообще не актуален.
Ситуация с a и b простая: они происходят из $k_n$, $k_m$, а потому либо точно равны друг другу, либо разделены достаточным интервалом. А вот по поводу их величины, к сожалению, понимания нет. Оно как раз должно появиться после решения задачи. Вычисляемый интеграл --- это матрица (с индексами n и m) однородной системы уравнений, возникающей при расчете мод резонатора с волноводом, при этом индексы имеют смысл разложения по модам резонатора без волновода, такая типа теория возмущений. И сколько невозмущенных мод нужно брать в расчет --- заранее неясно, а это и определит диапазон изменения a и b. Минимальные значения (для n=1) заведомо много меньше единицы, но с ростом n могут и вырасти. Хочется думать, что максимальные значения порядка единицы, но полной уверенности в этом нет.

zykov писал(а):Source of the post Ещё лучше для ускорения работы внутреннего цикла провести табуляцию
Табуляция по a и b не нужна. Самый внутренний цикл --- это решение секулярного уравнения, то есть подбор частоты $\omega$, от нее зависит только c.

zykov писал(а):Source of the post В данном простом случае разность сократилась и упростилась.
Но в общем случае будет возникать разность близких величин при вычислении слагаемого, что даст большую ошибку округления.
Так например для $g(c,a)$ нужно будет считать $n^3-\sqrt{n^2-c^2}\,(n^2-c^2+a^2)$.
Это тоже "сокращается и упрощается", хотя и более громоздко, для примера

$$ \frac1{\sqrt{1+n^2}}-\frac1n=-\frac1{n\sqrt{1+n^2}(n+\sqrt{1+n^2}\,)}. $$

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 26 мар 2020, 12:09

peregoudov писал(а):Source of the post это и определит диапазон изменения a и b. Минимальные значения (для n=1) заведомо много меньше единицы, но с ростом n могут и вырасти.

Понятно.
Тогда и не нужно огород городить, если все (a, b и c) меньше единицы.
Просто считайте полную сумму от 1 до 10 (или до 20), а для оставшегося хвоста один раз посчитайте его для всех параметров (a, b и c) равных нулю и производные этого хвоста по этим параметрам тоже в нуле (потом, если будет надо, можно и вторые производные добавить). И добавляйте приближение этого хвоста для малых параметров к этой сумме.
А там видно будет, работают ли малые параметры или нужно для больших считать.

peregoudov писал(а):Source of the post Это тоже "сокращается и упрощается", хотя и более громоздко, для примера

$$ \frac1{\sqrt{1+n^2}}-\frac1n=-\frac1{n\sqrt{1+n^2}(n+\sqrt{1+n^2}\,)}. $$

Интересно. Сразу с $1/n$ на $1/n^3$ перескочило. Значит и в Вашем случае с $1/n^3$ сразу на $1/n^5$ перескочит, что мне кажется с практической точки зрения уже достаточно.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 29 мар 2020, 14:48

peregoudov писал(а):Source of the post что есть методы ускорения сходимости подобных рядов

Сразу оговорюсь, что скорее всего практического значения это не имеет.
Но вообще математики находят способы ускорить сходимость для конкретных рядов. Правда с большим трудом.

Читал тут википедию про Riemann zeta function.
Оттуда была ссылка на Apéry's constant (это $\zeta(3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$).
Вобщем там математики конкретно для неё придумывали формулы, чтобы быстрее считать и получить очень много значащих цифр для этой константы. Подробнее в разделе "Fast convergence".
Там даны только формулы с историей. Чтобы узнать, как они были получены, наверно нужно обращаться к первоисточникам. Может какие из тех методов и здесь бы сработали.
(Там написано, что в 2019 году кто-то посчитал 1000 000 000 000 десятичных знаков этой константы.)

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Ускорение сходимости ряда

Сообщение peregoudov » 22 апр 2020, 00:41

А для сумм степеней других последовательностей, не обязательно натурального ряда, ничего не попадалось на глаза? Просто у меня сейчас продолжение этой истории, с цилиндрической геометрией, там получаются в точности такие же суммы, но с нулями функции Бесселя (или ее производной) вместо просто n. История с дзета-функцией от трех интересная, но мне сейчас нужно сосчитать "дзета-функцию уравнения Бесселя". Вроде я видел, что дзета-функцию обобщают на произвольные операторы, суммирование идет по собственным значениям. Интересно, что проблемы с суммами четных степеней нулей Бесселя нету, они все выражаются рациональными числами и для них есть забавные производящие функции. А вот с нечетными степенями, которые у меня и возникают --- проблема.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Ускорение сходимости ряда

Сообщение Ian » 23 апр 2020, 09:17

На кафедре теории чисел ММ МГУ эта тема как раз актуальная, видите какие вещи на май запланированы http://new.math.msu.su/department/number/dw/doku.php , может стоит познакомиться лично

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 24 апр 2020, 11:50

Если хочется найти быстрый способ расчета "из любви к искусству", то да - можно поискать.
А если нужно просто посчитать, то думаю проще взять и посчитать.
Либо подождать, пока считается. Либо ускорить техническими методами.
Кое-какие приёмы я ранее упоминал. А так ещё можно на видеокарте считать. Оно там как раз хорошо подходит для случая, когда нужно посчитать много однотипных несложных но затратных функций (пример с расчётом фрактала Жулиа как раз был из книги про CUDA). Обычно ускорение там почти 2 порядка - раз в 50-60 реально.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Ускорение сходимости ряда

Сообщение peregoudov » 24 апр 2020, 16:07

Ну, не совсем из любви к искусству. "Просто взять и посчитать" --- это как? Ну вот, скажем, $\sigma_0(3)=\sum_{j=1}^\infty\xi_j^{-3}$, где $J_0(\xi_j)=0$? Численно найти 10000 корней Бесселя? Как? Для этого нужно Бесселя уметь считать. Как? Суммированием степенного ряда? По асимптотике (а вы где-то видели ее далее первого члена)? По готовым асимптотическим формулам для корней? И во что в итоге выльются все промежуточные численные погрешности: в расчете самого Бесселя, в нахождении корня, в суммировании ряда из степеней корней? Вот абсолютно нет уверенности при таких масштабах. Maple мне, конечно, сумму выдал (подумав изрядно), а как проверить, что в ней все разряды правильные? Тут вопрос неожиданно совсем не академический.

Для сумм четных степеней $\sigma_n(2k)$ есть простая производящая функция

$$ \frac{xJ_{n+1}(x)}{2J_n(x)}=\sum_{k=1}^\infty x^{2k}\sigma_n(2k). $$

Или даже еще проще идеологически

$$ \ln[\Gamma(n+1)(x/2)^{-n}J_n(x)]=-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2k}}k\sigma_n(2k). $$

В каком-то смысле это аналог значений $\zeta(2k)$, только без степеней $\pi$, ну, если вспомнить, что корни Бесселя сами имеют асимптотику $\pi j+\pi n/2-\pi/4$...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 24 апр 2020, 17:25

peregoudov писал(а):Source of the post Численно найти 10000 корней Бесселя?

Видимо да.
Может хватит и 100 корней. Для дальних корней ошибка аппроксимации меньше, а их вклад в сумму (после возведения в степень "-3") тоже меньше. Так что для этого хвоста можно просто посчитать сумму аппроксимаций. Чтобы понять откуда этот хвост начинается, нужно оценить погрешность для хвоста.

А можно уточнить границы задачи?
Какая точность нужна - $10^{-3}$, $10^{-6}$ или точнее?
Нужна только степень "-3" или другие степени тоже?
Бессель нужен только нулевого порядка ($J_0$) или другие порядки тоже нужны?

На википедии есть небольшой раздел Numerical approaches. Там например есть ссылка на книгу "Gil, A., Segura, J., Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. Society for Industrial and Applied Mathematics.". Может в книге есть хорошие алгоритмы для Бесселя...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 24 апр 2020, 18:08

Вот есть слайды про вычисление Бесселя: Fast and accurate Bessel function computation.
И его же статья: Fast and Accurate Bessel Function Computation.

Смотрел, какой код для Matlab выкладывают по вычислению нулей Бесселя (например это). Там всё больше применяют Halley's method (это вроде Ньютона, только второго порядка).
Сам Бессель в Matlab вычисляется встроенной функцией besselj.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 24 апр 2020, 19:51

zykov писал(а):Source of the post Смотрел, какой код для Matlab выкладывают по вычислению нулей Бесселя (например это).

У меня этот код в Octave за 20 минут посчитал таблицу нулей Бесселя для порядков от 0 до 10000, по 1000 первых нулей для каждого.
Если верить автору скрипта, то там точность должна быть 12 верных цифр (при желании можно выборочно проверить).
Если надо, могу эту таблицу прислать (90Мб в архиве). Или самостоятельно можно скрипт у себя выполнить.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 24 апр 2020, 20:13

Вот если интересно для порядков от 0 до 500 суммы $\sum_{j=1}^{1000}\xi_j^{-3}$:

Код: Выбрать все

0.0808814574
0.0227528572
0.0105915328
0.00610734384
0.00396962819
0.0027859814
0.00206262836
0.00158844189
0.00126083011
0.0010250522
0.000849730724
0.000715830597
0.000611259684
0.000528037241
0.000460723602
0.000405507578
0.000359654586
0.000321161267
0.000288532793
0.000260635469
0.000236596878
0.000215736808
0.000197518593
0.000181514232
0.000167379018
0.000154832817
0.000143646075
0.000133629245
0.000124624698
0.000116500488
0.000109145487
0.000102465566
9.63805639e-05
9.0821876e-05
8.57305087e-05
8.10555086e-05
7.67526819e-05
7.27835469e-05
6.91144699e-05
6.57159503e-05
6.2562026e-05
5.96297761e-05
5.68989028e-05
5.43513797e-05
5.19711529e-05
4.97438884e-05
4.76567547e-05
4.56982384e-05
4.38579845e-05
4.21266598e-05
4.04958337e-05
3.89578759e-05
3.75058667e-05
3.6133519e-05
3.48351104e-05
3.36054232e-05
3.24396919e-05
3.13335571e-05
3.02830246e-05
2.92844292e-05
2.8334403e-05
2.74298465e-05
2.65679038e-05
2.57459396e-05
2.49615191e-05
2.42123904e-05
2.34964677e-05
2.28118171e-05
2.21566435e-05
2.15292787e-05
2.09281709e-05
2.03518751e-05
1.97990443e-05
1.92684218e-05
1.87588337e-05
1.82691828e-05
1.77984425e-05
1.73456514e-05
1.69099086e-05
1.64903686e-05
1.60862382e-05
1.56967718e-05
1.53212685e-05
1.49590686e-05
1.46095512e-05
1.4272131e-05
1.39462561e-05
1.36314058e-05
1.33270883e-05
1.30328391e-05
1.27482188e-05
1.24728119e-05
1.22062249e-05
1.19480854e-05
1.169804e-05
1.1455754e-05
1.12209096e-05
1.09932051e-05
1.07723541e-05
1.05580842e-05
1.03501366e-05
1.01482649e-05
9.95223482e-06
9.76182306e-06
9.57681699e-06
9.39701392e-06
9.22222057e-06
9.05225257e-06
8.88693392e-06
8.72609661e-06
8.56958013e-06
8.41723108e-06
8.26890285e-06
8.12445517e-06
7.98375387e-06
7.84667052e-06
7.71308214e-06
7.58287093e-06
7.45592402e-06
7.33213322e-06
7.21139477e-06
7.09360915e-06
6.97868086e-06
6.86651823e-06
6.75703324e-06
6.65014133e-06
6.54576128e-06
6.443815e-06
6.34422743e-06
6.24692635e-06
6.15184232e-06
6.0589085e-06
5.96806054e-06
5.8792365e-06
5.7923767e-06
5.70742367e-06
5.62432201e-06
5.54301831e-06
5.46346109e-06
5.38560069e-06
5.3093892e-06
5.23478039e-06
5.16172965e-06
5.0901939e-06
5.02013154e-06
4.95150239e-06
4.88426764e-06
4.81838976e-06
4.75383249e-06
4.69056079e-06
4.62854073e-06
4.56773955e-06
4.5081255e-06
4.44966789e-06
4.392337e-06
4.33610407e-06
4.28094125e-06
4.22682156e-06
4.17371887e-06
4.12160785e-06
4.07046399e-06
4.02026349e-06
3.9709833e-06
3.92260107e-06
3.87509512e-06
3.82844442e-06
3.78262856e-06
3.73762775e-06
3.69342277e-06
3.64999497e-06
3.60732625e-06
3.56539902e-06
3.52419621e-06
3.48370121e-06
3.44389793e-06
3.40477069e-06
3.36630428e-06
3.3284839e-06
3.29129518e-06
3.25472412e-06
3.21875713e-06
3.18338097e-06
3.14858279e-06
3.11435007e-06
3.08067062e-06
3.04753258e-06
3.01492443e-06
2.98283492e-06
2.95125311e-06
2.92016836e-06
2.88957029e-06
2.85944881e-06
2.82979405e-06
2.80059645e-06
2.77184664e-06
2.74353553e-06
2.71565423e-06
2.6881941e-06
2.66114669e-06
2.63450378e-06
2.60825734e-06
2.58239956e-06
2.55692279e-06
2.5318196e-06
2.50708271e-06
2.48270503e-06
2.45867965e-06
2.43499982e-06
2.41165894e-06
2.38865057e-06
2.36596844e-06
2.34360641e-06
2.32155847e-06
2.29981879e-06
2.27838165e-06
2.25724145e-06
2.23639274e-06
2.2158302e-06
2.1955486e-06
2.17554286e-06
2.155808e-06
2.13633915e-06
2.11713156e-06
2.09818057e-06
2.07948163e-06
2.06103031e-06
2.04282224e-06
2.02485317e-06
2.00711894e-06
1.98961548e-06
1.9723388e-06
1.955285e-06
1.93845027e-06
1.92183088e-06
1.90542317e-06
1.88922355e-06
1.87322854e-06
1.85743469e-06
1.84183866e-06
1.82643715e-06
1.81122694e-06
1.79620489e-06
1.7813679e-06
1.76671295e-06
1.75223706e-06
1.73793735e-06
1.72381096e-06
1.70985511e-06
1.69606706e-06
1.68244413e-06
1.66898371e-06
1.65568321e-06
1.64254012e-06
1.62955196e-06
1.61671631e-06
1.6040308e-06
1.59149309e-06
1.57910089e-06
1.56685197e-06
1.55474412e-06
1.54277519e-06
1.53094307e-06
1.51924567e-06
1.50768097e-06
1.49624696e-06
1.48494168e-06
1.47376321e-06
1.46270967e-06
1.45177919e-06
1.44096996e-06
1.4302802e-06
1.41970814e-06
1.40925208e-06
1.39891032e-06
1.3886812e-06
1.3785631e-06
1.36855441e-06
1.35865356e-06
1.34885902e-06
1.33916926e-06
1.3295828e-06
1.32009818e-06
1.31071395e-06
1.30142872e-06
1.29224109e-06
1.2831497e-06
1.27415321e-06
1.26525032e-06
1.25643971e-06
1.24772013e-06
1.23909033e-06
1.23054908e-06
1.22209517e-06
1.21372741e-06
1.20544465e-06
1.19724574e-06
1.18912954e-06
1.18109495e-06
1.17314089e-06
1.16526627e-06
1.15747006e-06
1.1497512e-06
1.14210868e-06
1.1345415e-06
1.12704867e-06
1.11962923e-06
1.11228221e-06
1.10500669e-06
1.09780173e-06
1.09066643e-06
1.08359989e-06
1.07660123e-06
1.0696696e-06
1.06280413e-06
1.05600398e-06
1.04926834e-06
1.04259639e-06
1.03598732e-06
1.02944037e-06
1.02295473e-06
1.01652967e-06
1.01016442e-06
1.00385824e-06
9.97610412e-07
9.91420213e-07
9.85286939e-07
9.79209895e-07
9.73188397e-07
9.67221769e-07
9.61309349e-07
9.55450482e-07
9.49644524e-07
9.43890842e-07
9.38188809e-07
9.32537812e-07
9.26937242e-07
9.21386502e-07
9.15885005e-07
9.10432169e-07
9.05027424e-07
8.99670206e-07
8.94359961e-07
8.89096141e-07
8.83878207e-07
8.7870563e-07
8.73577884e-07
8.68494455e-07
8.63454833e-07
8.58458518e-07
8.53505015e-07
8.48593838e-07
8.43724506e-07
8.38896545e-07
8.34109489e-07
8.29362879e-07
8.24656259e-07
8.19989184e-07
8.15361211e-07
8.10771906e-07
8.0622084e-07
8.0170759e-07
7.97231738e-07
7.92792873e-07
7.8839059e-07
7.84024488e-07
7.79694172e-07
7.75399253e-07
7.71139347e-07
7.66914075e-07
7.62723062e-07
7.58565941e-07
7.54442347e-07
7.50351921e-07
7.46294309e-07
7.42269162e-07
7.38276134e-07
7.34314886e-07
7.30385081e-07
7.26486389e-07
7.22618482e-07
7.18781037e-07
7.14973736e-07
7.11196265e-07
7.07448313e-07
7.03729575e-07
7.00039747e-07
6.96378531e-07
6.92745633e-07
6.89140763e-07
6.85563632e-07
6.82013958e-07
6.78491461e-07
6.74995864e-07
6.71526895e-07
6.68084284e-07
6.64667767e-07
6.61277079e-07
6.57911962e-07
6.54572161e-07
6.51257421e-07
6.47967493e-07
6.44702132e-07
6.41461092e-07
6.38244135e-07
6.35051021e-07
6.31881518e-07
6.28735392e-07
6.25612415e-07
6.22512361e-07
6.19435007e-07
6.16380131e-07
6.13347517e-07
6.10336947e-07
6.07348211e-07
6.04381097e-07
6.01435399e-07
5.9851091e-07
5.95607428e-07
5.92724753e-07
5.89862687e-07
5.87021034e-07
5.84199601e-07
5.81398197e-07
5.78616633e-07
5.75854723e-07
5.73112282e-07
5.70389129e-07
5.67685083e-07
5.64999966e-07
5.62333603e-07
5.59685819e-07
5.57056442e-07
5.54445304e-07
5.51852235e-07
5.4927707e-07
5.46719645e-07
5.44179797e-07
5.41657367e-07
5.39152196e-07
5.36664126e-07
5.34193004e-07
5.31738675e-07
5.29300989e-07
5.26879795e-07
5.24474945e-07
5.22086294e-07
5.19713696e-07
5.17357007e-07
5.15016088e-07
5.12690796e-07
5.10380994e-07
5.08086546e-07
5.05807315e-07
5.03543167e-07
5.01293971e-07
4.99059594e-07
4.96839908e-07
4.94634785e-07
4.92444096e-07
4.90267718e-07
4.88105526e-07
4.85957397e-07
4.8382321e-07
4.81702845e-07
4.79596183e-07
4.77503106e-07
4.75423499e-07
4.73357246e-07
4.71304233e-07
4.69264348e-07
4.6723748e-07
4.65223517e-07
4.63222352e-07
4.61233876e-07
4.59257983e-07
4.57294566e-07
4.55343522e-07
4.53404746e-07
4.51478137e-07
4.49563593e-07
4.47661014e-07
4.45770301e-07
4.43891355e-07
4.42024079e-07
4.40168377e-07
4.38324155e-07
4.36491317e-07
4.3466977e-07
4.32859423e-07
4.31060183e-07
4.29271961e-07
4.27494666e-07
4.25728211e-07
4.23972507e-07
4.22227468e-07
4.20493008e-07
4.18769041e-07
4.17055484e-07
4.15352253e-07
4.13659265e-07
4.11976439e-07

И для порядков от 9991 до 10000:

Код: Выбрать все

4.73687645e-10
4.73565899e-10
4.73444194e-10
4.73322532e-10
4.73200913e-10
4.73079336e-10
4.72957801e-10
4.72836309e-10
4.72714859e-10
4.72593452e-10

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Ускорение сходимости ряда

Сообщение zykov » 24 апр 2020, 20:33

А вот можно сравнить точность - для порядков от 0 до 20 суммы $\sum_{j=1}^{100000}\xi_j^{-3}$:

Код: Выбрать все

0.0808814735
0.0227528733
0.0105915489
0.00610735991
0.00396964424
0.00278599744
0.00206264438
0.0015884579
0.0012608461
0.00102506817
0.00084974668
0.000715846538
0.000611275608
0.00052805315
0.000460739495
0.000405523455
0.000359670448
0.000321177113
0.000288548623
0.000260651284
0.000236612677

А вот для порядков от 9991 до 10000:

Код: Выбрать все

1.06123098e-09
1.06101832e-09
1.06080573e-09
1.0605932e-09
1.06038073e-09
1.06016832e-09
1.05995598e-09
1.05974371e-09
1.05953149e-09
1.05931934e-09


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 13 гостей