Олимпиада Росатом

Ian · Сообщение **Ian** » 02 мар 2020, 07:37

2. При каких целых n функция

\sin (2n+1)x\cdot \sin\frac{5x}{n-1}
имеет период

7\pi ?
Видимо, речь идет о минимальном положительном периоде. И тогда почему бы не спросить про нецелые n? Кажется, ничего не изменится

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 03 мар 2020, 12:52

Не очень понимаю, что олимпиадного в задаче, которая решается стандартной формулой суммы синусов. Про минимальный период как-то не подумал. Я правильно понимаю, что тогда ответ n=-34, -6, 8, 36?

А как вы предлагаете решать при произвольном n? Первое, что приходит в голову: разложить на два косинуса и искать случаи кратных периодов...

Ian · Сообщение **Ian** » 03 мар 2020, 14:59

peregoudov писал(а): Я правильно понимаю, что тогда ответ n=-34, -6, 8, 36?

я не все эти значения нашел, может, ошибся.
Есть такая олимпиадная идея -разложим

f(x)=0,5\cos ax-0,5\cos bx, если она имеет период Т, то и 2-я производная будет иметь период Т

f''(x)=-0,5a^2\cos ax+0,5b^2\cos bx откуда нетрудно вывести что при

a^2\ne b^2 будут иметь период Т отдельно и

\cos ax, и

\cos bx. Этим- пользоваться можете. Но пожалуйста построже

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 03 мар 2020, 18:23

Ian писал(а):Source of the post я не все эти значения нашел, может, ошибся.

А просто подставить в функцию, не? Если отказаться от требования минимальности периода, есть еще два решения n=-4, 6, там период равен просто $\pi$ .

Ian писал(а):Source of the post будут иметь период Т отдельно и cos ax, и cos bx. Этим- пользоваться можете.

Ну так я это и предложил. Получаем: периоды косинусов $\frac{2\pi}{2n+1\pm5/(n-1)}$ , условие $7\pi$ периодичности $\frac k{2n+1+5/(n-1)}=\frac m{2n+1-5/(n-1)}=7/2$ , где $k$

,

--- целые, после исключения $n$

получаем диофантово уравнение $k^2-m^2-21(k-m)-14\cdot35=0$ . В непрерывных переменных это гипербола.

Найденные выше целочисленные решения соответствуют (k,m)=(-235,-234), (-41,-36), (62,57), (256,255). Наверное, то, что в крайних парах числа отличаются на единицу, и свидетельствует о том, что за пределами интервала решений нет (там гипербола еще ближе к прямой k=m). Для n=-4,6 пары такие (k,m)=(-28,-21), (49,42).

Ian писал(а):Source of the post Но пожалуйста построже

Построже я не умею. Я могу мясо пожарить, а уж посолить-поперчить потом эпсилон-дельтой --- это вы сами.

Для чего ограничили n целыми? Да решение существенно проще. $\sin(2n+1)x$ меняет знак каждые $7\pi$ , должен менять знак и $\sin\frac{5x}{n-1}$ , а это требует $\frac{5\cdot 7\pi}{n-1}=\pi (2k+1)$ . Ну вот, пишу и вижу, что недосмотрел: еще n=0,2, с периодом $\pi$ и $\pi/5$ (пары (k,m)=(-14,21), (35,0)).

Ну да, правильному периоду соответствуют несократимые на общий множитель пары. А если можно сократить, то и период сокращается.

Ian · Сообщение **Ian** » 03 мар 2020, 19:40

peregoudov писал(а):после исключения получаем диофантово уравнение $k^2-m^2-21(k-m)-14\cdot35=0$ . В непрерывных переменных это гипербола.

Найденные выше целочисленные решения соответствуют (k,m)=(-235,-234), (-41,-36), (62,57), (256,255). Наверное, то, что в крайних парах числа отличаются на единицу, и свидетельствует о том, что за пределами интервала решений нет (там гипербола еще ближе к прямой k=m). Для n=-4,6 пары такие (k,m)=(-28,-21), (49,42).

То есть Вы подбор не полностью проводили?
А классическое продолжение такое

(k-m)(k+m-21)=14\cdot 35=2\cdot 5\cdot 7^2
Для проведения перебора заметим, что (k-m) и (k+m-21) разной четности, и два сомножителя, на которые будет разбита правая часть, разной четности. Значит, при всех вариантах приравнивания (k-m) и (k+m-21) этим сомножителям(они оба положительных или оба отрицательные) получится какая-то новая целочисленная пара (k,m)
Ну а из них надо полагать -новое n. То что n ищется целое -пока нигде не было использовано. Значит можно и нецелые найти
Ps. Вот такой список n нашелся
24 способа разбиения- 24 числа.
Но в некоторых вариантах

7\pi не будет наименьшим периодом, проверять надо

Код: Выбрать все

36
8
6
2
1,714285714
1,142857143
18,5
4,5
3,5
1,5
1,357142857
1,071428571
-34
-6
-4
0
0,285714286
0,857142857
-16,5
-2,5
-1,5
0,5
0,642857143
0,928571429

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 03 мар 2020, 22:44

Ian писал(а):Source of the post То есть Вы подбор не полностью проводили?

Я вообще диофантово уравнение не решал. Не люблю я этой возни с целыми числами... А проверка на период вроде бы очень простая: если k/m --- сократимая дробь, то и период меньше $7\pi$ . Так что надо пары (k,m) выписывать, а не значения n.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 мар 2020, 01:33

Пары у меня остались выписаны, и с ними много чего
Отбрасывая по этому критерию, останется 4 целых 36,8,-6,-34
2 полуцелых n=-16,5 ; -2,5
4 со знаменателем 7 : 12/7 ;8/7 ;2/7 ;6/7
и одно n со знаменателем 14 n=9/14
да, ни одного иррационального, потому что при целых k,m через них выражается n рациональными операциями

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 05 мар 2020, 15:57

Вот что у меня получилось: (множители, на которые раскладывается 14*35=490), (кратности периодов), наибольший общий делитель кратностей, значение n.

Код: Выбрать все

(   1, 490)  ( 256, 255)   1  36
(  -1,-490)  (-235,-234)   1  -34
(   2, 245)  ( 134, 132)   2  37/2
(  -2,-245)  (-113,-111)   1  -33/2
(   5,  98)  (  62,  57)   1  8
(  -5, -98)  ( -41, -36)   1  -6
(  10,  49)  (  40,  30)  10  9/2
( -10, -49)  ( -19,  -9)   1  -5/2
(   7,  70)  (  49,  42)   7  6
(  -7, -70)  ( -28, -21)   7  -4
(  14,  35)  (  35,  21)   7  7/2
( -14, -35)  ( -14,   0)  14  -3/2
(  35,  14)  (  35,   0)  35  2
( -35, -14)  ( -14,  21)   7  0
(  70,   7)  (  49, -21)   7  3/2
( -70,  -7)  ( -28,  42)  14  1/2
(  49,  10)  (  40,  -9)   1  12/7
( -49, -10)  ( -19,  30)   1  2/7
(  98,   5)  (  62, -36)   2  19/14
( -98,  -5)  ( -41,  57)   1  9/14
( 245,   2)  ( 134,-111)   1  8/7
(-245,  -2)  (-113, 132)   1  6/7
( 490,   1)  ( 256,-234)   2  15/14
(-490,  -1)  (-235, 255)   5  13/14

Если ставить условие, что период $7\pi$ должен быть наименьшим, то выбираем строки с НОД=1. Вроде все сходится с вашими результатами.

Портал Естественных Наук, версия 1.1