МГТУ-2020

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 17 фев 2020, 15:25

8e.jpg
8e.jpg (103.11 KiB) 29273 просмотра

Задача 1 хоть и не сложная,но "породистая"
1й способ. Графики движения + размещения некоторых грузов в узлах и нахождение центра тяжести
2й способ. Графики движения+ теорема Менелая
Но должно быть что-то еще проще и подходящее для произвольных направлений и порядков встреч (даны координаты 5ти точек встреч, найти ту же координату для 6й, формулой, с детерминантом каким-нибудь)

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 17 фев 2020, 18:41

Ian писал(а):Source of the post 2й способ. Графики движения+ теорема Менелая

Там даже проще, учитывая что на графике две медианы (т.к. 42 в центре 36 и 48, а 51 в центре 48 и 54).
Точка пересечения всех трёх медиан - искомая точка будет $(36+48+54)/3=46$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 18 фев 2020, 01:07

Ian писал(а):Source of the post Но должно быть что-то еще проще и подходящее для произвольных направлений и порядков встреч

В общем случае это просто теорема Менелая (длины берутся со знаками).
$$\frac{AB'}{B'C} \cdot \frac{CA'}{A'B} \cdot \frac{BC'}{C'A} = -1$$
Значит $\frac{42-36}{48-42} \cdot \frac{54-48}{51-54} \cdot \frac{51-x}{x-36} = -1$, откуда $2(51-x)=x-36$ и получаем $x=46$.

Ian писал(а):Source of the post найти ту же координату для 6й, формулой, с детерминантом каким-нибудь

Саму теорему Менелая наверно можно доказать через матрицы.
Например, если переписать её доказательство через гомотетии в матричной форме.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 18 фев 2020, 12:27

Men.png
Men.png (5.92 KiB) 29240 просмотра
Теорема Менелая: Если прямая 4 пересекает стороны треугольника -прямые 1,2,3,то произведение длин красных отрезков, деленное на произведение синих, равно -1. Минус к длине приписывается, если направление отрезка противоречит выбранному направлению обхода периметра треугольника (по часовой), из-за того, что прямая 4 пересекает продолжение , а не саму сторону
Обозначим [math] координату каждой точки пересечения
[math]
Эта дробь симметрична относительно любой перенумерации точек. А в терминах определителя бы это записать

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 18 фев 2020, 14:29

Ian писал(а):Source of the post Эта дробь симметрична относительно любой перенумерации точек.

Разве?
Из 4 прямых есть 4 способа выбрать 3 для треугольника и одну секущую. Т.е. получится 4 разных формулы.
На рисунке треугольник из (1,2,3), а 4 - секущая.
Если сделать треугольник из (1,2,4), а 3 - секущая, то дробь $\frac{t_{34}-t_{13}}{t_{23}-t_{34}}$ уйдет, а дробь $\frac{t_{34}-t_{14}}{t_{24}-t_{34}}$ добавится (две другие дроби будут из тех же точек, но изменятся).

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 19 фев 2020, 12:27

zykov писал(а):Source of the post Т.е. получится 4 разных формулы.

Эта формула - это критерий того, что три точки лежащие на этих трёх прямых (на 1, 2 и 3) и удовлетворяющие данным соотношенииям по длине, что они лежат на одной прямой - на прямой 4.
Три другие формулы - это критерии для других троек точек, что они лежат на одной прямой.

Один из способов доказательства теоремы Менелая - через вектора. Там и возникнет детерминант матрицы "2 на 2", как критерий того, что три точки лежат на одной прямой (что два вектора коллинеарны).

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 19 фев 2020, 23:10

Я не со всем согласен. Если мы применим теорему Менелая для прямой 3, пересекающей треугольник из остальных прямых, то мы на те же 6 чисел t получим условие другое по форме, но эквивалентное предыдущему.Иначе говоря, тот факт, что все 4 прямые, участвующие в конструкции -это прямые, порождает одно уравнение связи этих 6-ти переменных, позволяющее по любым 5ти найти 6ю однозначно из некоторого линейного уравнения.А 4 разных формы теоремы Менелая -это 4 разных формы этого уравнения связи.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

МГТУ-2020

Сообщение peregoudov » 20 фев 2020, 15:09

zykov прав. Если у вас есть четыре прямые, каждую из которых пересекают три остальных, то на каждой прямой у вас отсекается по два отрезка, всего 8 штук. У вас вот на картинке отрезки t14-t34-t24 не обозначены и никак не используются. Если пытаться получить формулу, не зависящую от перестановок, в нее все 8 отрезков должны входить.

Я бы сказал более общо: четыре прямых характеризуются 8 параметрами, но с точностью до движений плоскости, несущей три параметра, остается 5 независимых. Наверное, инвариантное условие будет иметь вид трех уравнений с 8 параметрами.

Только вот в исходной задаче ведь даны вовсе не длины отрезков. Я решил вот так (думаю, понятно без словесных объяснений).

Изображение

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 20 фев 2020, 16:13

Тут какое дело?
Собственно в теореме Менелая речь идет о длинах отрезков. Всего таких отрезков 8 (по 2 на каждой из 4 прямых). Из них 5 отрезков задают однозначно картину - 3 задают треугольник и ещё 2 задают секущую. Оставшиеся 3 отрезка можно найти из 4 формул Менелая. Видимо всё 4 формулы связаны алгебраически, так что например четвертую можно получить из других трёх.

В задаче про лифты немного другая ситуация, хотя и тесно связанная с теоремой Менелая. Тут мы рассматриваем не длины отрезков, и длины их проекций на ось (ось времени). Для проекций уже имеет место аддитивность, так что тут всего 6 параметров, как писал Ian. По 5 заданным можно найти 6ой. При этом, что любопытно, сами 4 формулы не связаны алгебраически (так что по первой можно получить 3 других). Но четыре разных равенства "многочлен равен нулю" задают одну и ту же поверхность.

Насчет детерминанта, то можно сделать так (не знаю, поможет ли):
$$\frac{(t_{14}-t_{12})(t_{34}-t_{13})(t_{24}-t_{23})}{(t_{13}-t_{14})(t_{23}-t_{34})(t_{12}-t_{24})}=-1$$, значит

$$(t_{14}-t_{12})(t_{34}-t_{13})(t_{24}-t_{23})+(t_{13}-t_{14})(t_{23}-t_{34})(t_{12}-t_{24})=0$$, значит

$$\det\begin{pmatrix} 0 & t14-t12 & t13-t14 \\ t23-t34 & 0 & t34-t13 \\ t24-t23 & t12-t24 & 0 \end{pmatrix}=0$$

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 20 фев 2020, 18:06

zykov писал(а):Source of the post Насчет детерминанта, то можно сделать так (не знаю, поможет ли):

Вот альтернативный, чуть более симметричный вариант:
$$\det\begin{pmatrix} t13-t12 & t13-t14 & t14-t12 \\ t34-t13 & t23-t13 & t23-t34 \\ t12-t24 & t24-t23 & t12-t23 \end{pmatrix}=0$$
(тут каждый столбец - это сумма двух других столбцов из старой матрицы)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 21 фев 2020, 10:17

То, что я и искал
zykov писал(а):$\det\begin{pmatrix}0 & t_{14}-t_{12} & t_{13}-t_{14}\\ t_{23}-t_{34} & 0 & t_{34}-t_{13}\\ t_{24}-t_{23} & t_{12}-t_{24} & 0 \end{pmatrix}=0$

$=\begin{vmatrix}0 & AC' & C'B\\ A'C & 0 & BA'\\ CB' & B'A & 0 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0 & AB & C'B\\ A'B' & 0 & C'A'\\ CB' & CA & 0 \end{vmatrix}$-то что выражает теорему Менелая для секущей 3 треугольника (124)=AC'B'.
Все выражения из двух букв -это проекции соответствующего вектора на произвольную (но для всех одну)ось

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 21 фев 2020, 11:19

Кстати ассоциируется с известной задачей из сети
По бесконечной стене равномерно и прямолинейно ползут 4 таракана, каждый по своей прямой(непараллельной другим) и со своей скоростью. Известно, что 1й встретился со 2,3 и 4, 2й встретился с 3 и 4. Доказать, что существует момент (в прошлом или в будущем) что 3й встретится с 4.
Решение.Проведем ось времени перпендикулярно стене и будем изображать в пространстве прямую -график движения каждого таракана над его траекторией. По условию, прямые графиков 1,2,3 попарно пересекаются в пространстве, значит, лежат в одной плоскости Р. Прямая 4 имеет 2 точки на плоскости Р, значит, целиком лежит в плоскости Р и проекция ее на стену не параллельна проекции на стену прямой 3. Значит, 4 и 3 не параллельны, а пересекаются в плоскости Р

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 21 фев 2020, 11:50

zykov писал(а):Source of the post Вот альтернативный, чуть более симметричный вариант:
$$\det\begin{pmatrix} t13-t12 & t13-t14 & t14-t12 \\ t34-t13 & t23-t13 & t23-t34 \\ t12-t24 & t24-t23 & t12-t23 \end{pmatrix}=0$$

Тут кстати простой смысл. Каждая строка соответствует одной стороне треугольника. А три значения в строке - это все три отрезка на данной стороне (один из них равен сумме двух других).
Т.к. в строке длины только вдоль одной линии, то не важно - сами длины это (как в теореме Менелая) или это их проекции. Т.е. такой же детерминант верен и для самой теоремы Менелая, а не только для проекций.

В данной форме это выражение не симметрично (выделен один треугольник). Есть ещё 3 такие же матрицы для других треугольников.
Похоже, что эти четыре детерминанта "3 на 3" - это миноры одной матрицы "4 на 4".
В симметричной форме это можно записать например так:
$$\det\begin{pmatrix} x_1 & t13-t12 & t13-t14 & t14-t12 \\ x_2 & t12-t24 & t24-t23 & t12-t23 \\ x_3 & t34-t13 & t23-t13 & t23-t34 \\ x_4 & t34-t24 & t24-t14 & t34-t14 \end{pmatrix}=0$$
для любых параметров $x_i$.

Или, если без параметров, то:
$$rank\begin{pmatrix} t13-t12 & t13-t14 & t14-t12 \\ t12-t24 & t24-t23 & t12-t23 \\ t34-t13 & t23-t13 & t23-t34 \\ t34-t24 & t24-t14 & t34-t14 \end{pmatrix} < 3$$
Это означает, что все четыре 3-вектора должны лежать в одной плоскости.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 22 фев 2020, 11:34

Ian писал(а):Source of the post Прямая 4 имеет 2 точки на плоскости Р, значит, целиком лежит в плоскости Р

А вдруг эти две точки совпадают?

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 22 фев 2020, 17:32

zykov писал(а):
Ian писал(а):Source of the post Прямая 4 имеет 2 точки на плоскости Р, значит, целиком лежит в плоскости Р

А вдруг эти две точки совпадают?
Тогда неверно, в условие нужно добавить " никакие три траектории не пересекаются в одной точке"

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 22 фев 2020, 20:47

Кстати, наткнулся на любопытную ссылку про теорему Менелая (там на английском):
Menelaus Theorem: Proofs Ugly and Elegant - A. Einstein's View
Там же они упоминают и приведенную Ian задачу "4 travellers problem".

Вообще там много ссылок на эту тему.
Вот одна: Menelaus from 3D.
Там теорема доказывается построением в третье измерение, причем очень просто.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 24 фев 2020, 02:07

Ian писал(а):Source of the post То, что я и искал

zykov писал(а):
$$\det\begin{pmatrix}0 & t_{14}-t_{12} & t_{13}-t_{14}\\ t_{23}-t_{34} & 0 & t_{34}-t_{13}\\ t_{24}-t_{23} & t_{12}-t_{24} & 0 \end{pmatrix}=0$$

Вот нашел любопытную статью про это.
A Unified Proof of Ceva and Menelaus Theorems Using Projective Geometry
Там в доказательстве теоремы 2.1 похожий детерминант возникает.

Albus
Сообщений: 59
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

МГТУ-2020

Сообщение Albus » 03 май 2021, 04:16

Первая задачка решается вообще просто, без Менелая и графиков :) Перейдем в СО красного лифта, пусть $a$ - пройденный зеленым пусть от $42$ до $48$ (а также скорость в ед. изм метр/6мин). Тогда скорость желтого $2a$, т.к. зеленый оказался на расстоянии $2a$ к $54$. Пусть $b$-скорость синего, тогда $2,5b=a, b=\frac{a}{2,5}$. Тогда время встречи зеленого с синим равно $42+\frac{\frac{a}{2,5}}{a-\frac{a}{2,5}} \cdot 6=46$

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

МГТУ-2020

Сообщение Ian » 03 май 2021, 08:50

тогда Ваше решение соответствует картинке от Peregoudov, опубликованной выше, он именно красную прямую взял горизонтальной( а ось положений вертикальна). Скорости это тангенсы углов наклона прямых на картинке. Использование графиков для школьников, поступающих в такой вуз, только поощряется. Но действительно, Менелая жюри не ждало, числа подобраны чтоб просто решалась. Даже дано, какой лифт в каком направлении едет (а эти данные не обязательны)

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

МГТУ-2020

Сообщение zykov » 03 май 2021, 15:32

Теорема Менелая была в ответ на вопрос Ian про общий случай:
Ian писал(а):Source of the post Но должно быть что-то еще проще и подходящее для произвольных направлений и порядков встреч


В этом частном случае числа подобраны удобные.
Тут проще всего использовать график и медианы треугольника, как я писал:
zykov писал(а):Source of the post Там даже проще, учитывая что на графике две медианы (т.к. 42 в центре 36 и 48, а 51 в центре 48 и 54).
Точка пересечения всех трёх медиан - искомая точка будет $(36+48+54)/3=46$.

Как известно, точка пересечения медиан - это центр тяжести трёх вершин треугольника.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей