Площадь между огибающими

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 814
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Площадь между огибающими

Сообщение Ian » 03 сен 2021, 09:01

С заочной олимпиады. От равностороннего треугольника AВС единичной площади можно отрезать треугольник площади 1/3 прямолинейным разрезом. Заметим, что некоторые точки треугольника AВС никогда не будут находиться в отрезанной части. Найти S - площадь множества таких точек.
Вообще-то кривая, касательные к которой отсекают от данного угла треугольник постоянной площади -это ветвь гиперболы, с асимптотами -сторонами этого угла. И что, школьников заставляют найти площадь криволинейного треугольника между тремя гиперболами? У меня пока не посчиталась.

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 03 сен 2021, 17:53

Попробовал в лоб посчитать интеграл, выходит
$$\frac{2 \log{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{4}\right) }+2 \log{(4)}+\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.05412$$
Что совпадает примерно с вычислительным экспериментом, когда строим численно много таких отрезков и численно ищем площадь внутри.

Не знаю, что они от школьников хотели. Интеграл можно взять, но как-то выкладок много...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 814
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Площадь между огибающими

Сообщение Ian » 04 сен 2021, 07:00

Ну а путь? Я колебался между двумя путями, но ни один не довел
1. Находить S/6 мнтегрированием, возможно в полярных координатах
2. Так как данная площадь не меняется при линейных преобразованиях, искать S/6 для прямоугольного равнобедренного треугольника единичной площади , в декартовых кооррдинатах. Но один из углов криволинейного треугольника непонятно куда уйдет при линейном преобразовании. Например, он не находится на пересечении тримедиан, так как касательные к гиперболе делятся точкой касания пополам, а тримедианы делятся в точке пересечения в отношении 3:2, поэтому не имеют общих точек с искомым множеством.
3) тогда кстати третий путь -задать ограничивающую гиперболу параметрически, как множество середин секущих отрезков, через параметр t- длина одной из сторон отсекаемого треугольника

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 04 сен 2021, 13:11

Я просто в лоб делал. Нашел квадратичную форму для гиперболы (одной из трёх) в исходных координатах, где треугольник равностороний.
Потом интегрировал в прямоугольных координатих для $S/6$. Удобнее было интегрировать параллельно ближайшей стороне, так что надо было добавить ещё площадь треугольника до центра.
И всё. Только выкладок много для бумаги. Я делал на компьютере в wxMaxima.

Судя по ответу, там по любому должен возникнуть интеграл $\int \frac{dx}{x}$.
Возможно олимпиадность в том, что его можно как-то попроще получить. Может в полярных координатах будет короче.

Ещё идея, что может вместо $1/3$ рассмотреть общий случай с параметром. Может там дифур получится соорудить. Граничные значения легко находятся. Если решить дифур, то получится и значение для параметра $1/3$.
Последний раз редактировалось zykov 04 сен 2021, 13:16, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 04 сен 2021, 13:14

Ian писал(а):Source of the post Так как данная площадь не меняется при линейных преобразованиях

Правильнее - отношение площадей не меняется.
Сама то площадь изменится, если детерминант не равен 1.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 814
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Площадь между огибающими

Сообщение Ian » 04 сен 2021, 14:46

рассмотрим гиперболу, ближайшую к левому нижнему углу основания, а длина основания [math]. Спрашивается, какова касательная к ней в точке с абсциссой [math], и где она пересекает основание? Ведь ближе точки [math]?

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 04 сен 2021, 17:21

Я для простоты беру сторону треугольника равной 1 (потом уже площадь делю в конце).
Треугольник $ABC$, так что снизу горизонтально основание $AC$ слева направо.
Ian писал(а):Source of the post касательная к ней в точке с абсциссой a/2, и где она пересекает основание?

Да, она левее точки $C$ пересечет основание.

Прямоугольные координаты имеют центр в точке $A$. Ось $X$ идёт к $C$. Ось $Y$ идёт вверх.
Тогда левая нижняя гипербола имеет уравнение:
$$x=\frac{8 {{y}^{2}}+1}{8 \sqrt{3} y}$$
Если рассмотреть равносторонний треугольник с площадью в 3 раза меньше и вершиной в $A$, то центр противоположенной стороны будет касатся вершины гиперболы. Координата этой точки $(\frac{\sqrt 3}{4}, \frac14)$ - подходит в это уравнение. Эта точка - один из пределов интегрирования.
Другой предел интегрирования - точка $(\frac12, \frac{\sqrt 3 - 1}{4})$.

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 05 сен 2021, 13:30

Вот кстати, через вектора покороче получается и менее топорно, чем через прямоугольные координаты.

По прежнему сторона равна 1, центр отсчёта в точке $A$, базисные вектора $\vec a=\vec{AC}$ и $\vec b=\vec{AB}$.
Один конец отрезка равен $t\vec a$, второй равен $\frac{k}{t}\vec b$, где $t$ - параметр, $k=\frac13$.
Т.к. точка касания делит отрезок пополам, то эта точка - точка кривой - равна $\vec x = \frac12 (t\vec a + \frac{k}{t} \vec b)$.

Один конец сектора "одна шестая площади" возникает в $t_1=\sqrt k$.
Второй конец там, где эта кривая (мы знаем, что это гипербола) пересекает высоту/медиану из $B$ на $AC$ (нижняя точка).
Т.е. $\vec x(t_2) = \vec b + q(\frac12 \vec a - \vec b)$. Значит $t_2 = \frac{\sqrt{1-2k}+1}{2}$.
Центр треугольника равен $\vec o = \frac13 (\vec a + \vec b)$. Значит вектор из центра до точки кривой равен $\vec r(t)=\vec x(t)-\vec o$.

По мере того как $t$ растёт, скорость заметания площади вектором $\vec r(t)$ равна $\dot S = \frac12 \; \vec r \times \dot{\vec r}$.
Векторное произведение даёт вектор, но здесь он имеет только одну ненулевую компоненту вдоль $z$. Её и будем рассматривать.
Учитывая что $\vec a \times \vec a = \vec b \times \vec b = 0$ и $\vec a \times \vec b = -\vec b \times \vec a = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$ получим:
$$\dot S = \frac12 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} \left(\left(\frac12 t - \frac13\right)\left(\frac{-k}{2t^2}\right)-\left(\frac{k}{2t}-\frac13\right)\left(\frac12\right)\right) = \frac{\sqrt 3}{48} \left(2 - \frac{6k}{t} + \frac{2k}{t^2}\right)$$
Тогда искомая площадь равна:
$$S_{tot} = \frac{6\cdot 4}{\sqrt 3} \int_{t_1}^{t_2} \dot S \; dt = \frac12 \int_{t_1}^{t_2} \left(2 - \frac{6k}{t} + \frac{2k}{t^2}\right) \; dt = \frac{3 k \ln{k}-6 \ln{\left( \frac{\sqrt{1-2 k}+1}{2}\right) } k+3 \sqrt{1-2 k}-1}{2}$$

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 05 сен 2021, 13:34

Любопытен график этой площади от $k$:
tri_s_vs_k.png
tri_s_vs_k.png (20.63 KiB) 394 просмотра

Я то думал, что он при $k=\frac12$ занулится, а он раньше зануляется при $k=\frac49$.
Впрочем это очевидно, что зануляется, когда с трёх углов равносторонние треугольники со строной $\frac23$.

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 05 сен 2021, 14:29

zykov писал(а):Source of the post Т.к. точка касания делит отрезок пополам

Это легко видно, если рассмотреть точки $X$ и $X'$ на $AB$, и точки $Y$ и $Y'$ на $AC$, так чтобы треугольники $AXY$ и $AX'Y'$ имели требуемые площади.
Тогда из площадей будет $AX'/AX=AY/AY'$, т.е. треугольники $AXY'$ и $AX'Y$ подобны, значит $XY'$ и $X'Y$ параллельны.
Устремим $X'$ к $X$ и $Y'$ к $Y$, сохраняя условие по площади. Тогда точка пересечения $XY$ и $X'Y'$ устремится к точке касания на $XY$ (т.к. она находится на ломаной между точками касания на $XY$ и на $X'Y'$, а вторая точка касания будет стремится к первой).
В трапеции $XX'YY'$ оба основания по величине стремятся к $XY$, значит "трапеция стремится к параллелограму". У параллелограма диагонали делятся пополам точкой пересечения. Значит точка пересечения $XY$ и $X'Y'$ стремится к центру $XY$, т.е. точка касания находится в центре.

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 05 сен 2021, 15:48

zykov писал(а):Source of the post $$\frac{2 \log{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{4}\right) }+2 \log{(4)}+\sqrt{3}-1}{2}$$

Можно упростить до $\ln(\sqrt 3 - 1) + \frac{\sqrt 3 - 1}{2}$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 814
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Площадь между огибающими

Сообщение Ian » 06 сен 2021, 08:32

zykov писал(а):
zykov писал(а):Source of the post Т.к. точка касания делит отрезок пополам

Это легко видно, если рассмотреть точки $X$ и $X'$ на $AB$, и точки $Y$ и $Y'$ на $AC$, так чтобы треугольники $AXY$ и $AX'Y'$ имели требуемые площади.
Тогда из площадей будет $AX'/AX=AY/AY'$, т.е. треугольники $AXY'$ и $AX'Y$ подобны, значит $XY'$ и $X'Y$ параллельны.
Устремим $X'$ к $X$ и $Y'$ к $Y$, сохраняя условие по площади. Тогда точка пересечения $XY$ и $X'Y'$ устремится к точке касания на $XY$ (т.к. она находится на ломаной между точками касания на $XY$ и на $X'Y'$, а вторая точка касания будет стремится к первой).
В трапеции $XX'YY'$ оба основания по величине стремятся к $XY$, значит "трапеция стремится к параллелограму". У параллелограма диагонали делятся пополам точкой пересечения. Значит точка пересечения $XY$ и $X'Y'$ стремится к центру $XY$, т.е. точка касания находится в центре.
Тут даже проще [math]-площадь не меняется только если точка пересечения отрезков близка к их серединам, но она заведомо близка и к обоим точкам касания

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 814
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Площадь между огибающими

Сообщение Ian » 09 сен 2021, 07:58

zykov писал(а):Тогда искомая площадь равна:
$$S_{tot} = \frac{6\cdot 4}{\sqrt 3} \int_{t_1}^{t_2} \dot S \; dt = \frac12 \int_{t_1}^{t_2} \left(2 - \frac{6k}{t} + \frac{2k}{t^2}\right) \; dt = \frac{3 k \ln{k}-6 \ln{\left( \frac{\sqrt{1-2 k}+1}{2}\right) } k+3 \sqrt{1-2 k}-1}{2}$$

Подставляю [math] получается решение такой задачи:
От равностороннего треугольника AВС единичной площади можно отрезать треугольник площади 1/2 прямолинейным разрезом. Заметим, что некоторые точки треугольника AВС всегда будут находиться в отрезанной части. Найти S - площадь множества таких точек (невыпуклого криволинейного треугольника между тремя гиперболами)
Получилось
[math]. Тоже можно задать на студенческой олимпиаде 1го курса

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 09 сен 2021, 15:03

Ian писал(а):Source of the postнекоторые точки треугольника AВС всегда будут находиться в отрезанной части

Боюсь, так оно не работает.
Если провести отрезок из вершины, то он поделит на две части половинной площади.
Точка находится либо в одной половине, либо в другой (не считая границы с нулевой мерой). Т.е. эта точка не будет "всегда находится в отрезанной части".

Да, исходный смысл формула сохраняет только до $k=4/9$. Дальше она его теряет.
Можно найти какой-то другой смысл, но не такой.

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 09 сен 2021, 16:26

Ian писал(а):Source of the post(невыпуклого криволинейного треугольника между тремя гиперболами)

Видимо это множество точек лежащих сразу внутри трёх треугольников, соответствующим трём вершинам.
В том плане, что для точки существует тройка таких треугольников.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 814
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Площадь между огибающими

Сообщение Ian » 09 сен 2021, 17:48

Три гиперболы при k=1/2 касаются попарно. Вот площадь треугольника между ними и получилась по формуле. С отрезанием треугольников, согласен, тут уже мало связи

zykov
Сообщений: 1182
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Площадь между огибающими

Сообщение zykov » 09 сен 2021, 18:16

Насчет точек, которые всегда в отрезанной части, то до $1/2$ их нет.
При $1/2$ это одна точка - центр треугольника.
А после $1/2$ уже будет конечная площадь, но формула другая.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей