планиметрия вступительная в мгу

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 801
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия вступительная в мгу

Сообщение Ian » 20 июл 2021, 10:26

planim.png
planim.png (231.95 KiB) 100 просмотра

Здесь, видимо, случилось такое, что набор данных (отрезки по единице и площадь =2) настолько экстремальный, что ответ BD=2 единственный и только тогда, когда АС и BD перпендикулярны. Но как доказать.

zykov
Сообщений: 1158
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

планиметрия вступительная в мгу

Сообщение zykov » 20 июл 2021, 19:16

Там довольно просто.
Углы $\angle BKL$ и $\angle CLK$ равны. Из этого и из того что $AM=MC$, следует что $AK=CL$.
Потому что расстояния от $A$ и от $C$ до прямой $KL$ равны и наклоны $AB$ и $CD$ к прямой $KL$ равны.

Обозначим точку касания в $BC$ как $M$ и точку касания в $AD$ как $N$.
Тогда $BK=BM$ и $CM=CL=AK$, значит $AB=BC$ (т.к. $AB=AK+BK$, $BC=BM+CM$).
Аналогично $AD=DC$.
Значит этот четырёхугольник - дельтоид.
Значит его диагонали перпендикулярны и значит $2S=AC \cdot BD$.
Т.к. $S=2$ и $AC=2$, то $BD=2$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 801
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия вступительная в мгу

Сообщение Ian » 20 июл 2021, 19:48

Спасибо! Действительно проще чем предполагалось. И задача, говорят, даже не оригинальная, а с форума "Школково"

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 801
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия вступительная в мгу

Сообщение Ian » 22 июл 2021, 07:42

planim1.jpg
planim1.jpg (61.61 KiB) 65 просмотра

Еще одна оттуда же, и опять проблемы. Кажется, ответов бесконечно много

zykov
Сообщений: 1158
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

планиметрия вступительная в мгу

Сообщение zykov » 22 июл 2021, 14:19

Из того что $AKML$ вписанный следует что углы при $A$ и при $M$ дополняют друг друга до 180 градусов.
Значит $\angle BAC = \angle CML$.
Рассмотрим треугольники $CKA$ и $CLM$. У них два угла равны (общий при $C$ и углы при $A$ и при $M$), значит и третий угол равен. Т.е. $\angle AKC = \angle CLB$.
Значит в треугольниках $AKC$ и $CLB$ все углы совпадают и они подобны. Но у них одинаковая площадь, значит эти треугольники равны.
Значит $AC=BC=1$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 801
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

планиметрия вступительная в мгу

Сообщение Ian » 22 июл 2021, 15:45

Спасибо, очень четко! Я не заметил, что углы AKC и CLB равны


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 7 гостей