Аналитический центр многоугольника

Albus
Сообщений: 26
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

Аналитический центр многоугольника

Сообщение Albus » 05 июн 2021, 07:43

В "Рассказы о максимумах и минимумах" есть задача - охарактеризуйте точку внутри многоугольника, у которой произведение расстояний до сторон максимально. Для треугольника у меня вышло, что это точка пересечения медиан, а как быть в общем случае? :)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Аналитический центр многоугольника

Сообщение Ian » 05 июн 2021, 09:31

Albus писал(а): Для треугольника у меня вышло, что это точка пересечения медиан
Ну и как Вы доказывали? Потому что первое что приходит в голову в общем случае -рассмотреть сумму площадей треугольников с вершиной в этой точке [math], отсюда
[math], и если все n площадей можно уравнять то достигается равенство. А вот если нельзя... Я думаю в книжке имелся в виду случай когда можно)
Но оказывается, даже для трапеции, не являющейся параллелограммом, нельзя, два боковых треугольника всегда больше в сумме (при точке ниже средней линии), чем примыкающие к основаниям. Хотя точку-то аналитически легко найти

Albus
Сообщений: 26
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

Аналитический центр многоугольника

Сообщение Albus » 05 июн 2021, 19:03

Ian писал(а):Source of the post Ну и как Вы доказывали?

Возьмем логарифмическую производную, тогда очевидно, что если через эту точку провести прямую до одной из вершин, то она должна ее делить в отношении $1:2$, считая от точки пересечения с противолежащей стороной. И так для всех трех вершин, выходит только одна точка - пересечение медиан. А факт деления в этой пропорции доказать просто - пусть $x$ - искомая пропорция, $h_1$-расстояние до противолежащей стороны, а $h_2$ и $h_3$ - расстояния до боковых сторон. Тогда если двигаться по прямой к вершине, то $h_1$ увеличивается, а остальные уменьшаются, и наоборот, тогда из зануления логарифмической производной выходит $\frac{h_1}{xh_1}+\frac{h_2}{(1-x)h_2}+\frac{h_3}{(1-x)h_3}=0$, следовательно $\frac{1}{x}+\frac{1}{(1-x)}+\frac{1}{(1-x)}=0$, откуда $x=\frac{1}{3}$.

Albus
Сообщений: 26
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

Аналитический центр многоугольника

Сообщение Albus » 05 июн 2021, 19:11

Для многоугольника у меня вышло так - проведем через искомую точку два перпендикулярных орта. Для каждого орта найдем угол, под которым его продолжение пересекается с продолжениями каждой из сторон, если для достижения точки пересечения надо выйти по орту, то угол положителен, если против орта, то отрицателен, обозначим его за $\alpha$, тогда для каждого орта должно выполняться соотношение $\sum_{n} \frac{h_i}{tg(\alpha_i)}=0$, где $h_i$ - расстояние до соответствующей стороны

Albus
Сообщений: 26
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

Аналитический центр многоугольника

Сообщение Albus » 07 июн 2021, 00:26

Albus писал(а):Source of the post $\frac{h_1}{xh_1}+\frac{h_2}{(1-x)h_2}+\frac{h_3}{(1-x)h_3}=0$, следовательно $\frac{1}{x}+\frac{1}{(1-x)}+\frac{1}{(1-x)}=0$, откуда $x=\frac{1}{3}$.

Разумеется тут $\frac{h_1}{xh_1}-\frac{h_2}{(1-x)h_2}-\frac{h_3}{(1-x)h_3}=0$, следовательно $\frac{1}{x}-\frac{1}{(1-x)}-\frac{1}{(1-x)}=0$, откуда $x=\frac{1}{3}$ :)


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 8 гостей