Портал Естественных Наук, версия 1.1

По третьей: напишем , тогда . Вроде бы должно быть , потому что , а любое другое приводится в окрестность с множителем с помощью -кратного применения функционального уравнения.

Первая забавная. Обозначим , тогда



Независимо от всегда . Дальше очевидное решение при . Два первых члена вычисляем вручную , .

Ну, в общем, идея в том, чтобы сумму $\sum_{k=n}^\infty 1/k^2$ представить как известную функцию $n$ плюс более быстро сходящийся ряд, для которого потом поменять порядок суммирования, ибо $\sum_{n=1}^k(2n-1)/k^2=1$. То есть надо, чтобы сумма сходилась как $\sum1/k^4$. Тот же самый прием разбиения н...

По поводу эргодичности я, конечно, глянул в Википедии, там есть и про достижимость и прочее, но кратно и без доказательств. Так что за лекцию спасибо! Я-то просто конкретное характеристическое уравнение исследовал и в частном случае доказывал. Хотя... Чем проверять выполнение всех этих общих требова...

У этой задачи есть красивое и простое геометрическое решение. И неожиданный физический смысл (я раньше не знал) одного элемента параболы.

Ваша --- это моя . А вот с остальным не согласен, с не будет никуда сходится, хотя эргодичность ваша выполняется. Вообще было бы небезынтересно взглянуть, как из вашей эргодичности получается ограничение на собственные значения.

Седьмая забавная. Описанное в ней линейное преобразование $X_{k+1}=LX_k$ --- произведение усреднения $$ A=\begin{pmatrix} \frac1n&\frac1n&\cdots&\frac1n\\ &1\\ &&\ddots\\ &&&1 \end{pmatrix} $$ и циркулянта $$ C=\begin{pmatrix} 0&1\\ &0&\ddots\\ &&a...

Если дело в самих приборах, а не в интегрировании, то при перемене приборов местами и отношение показаний должно перемениться на обратное. Если же дело в интегрировании, то оно останется неизменным. Но вообще, разница в 2 раза --- это что-то сильно выходящее за грань разумного. А история Ian'а про с...

А можно поменять приборы ролями? Пусть тот, который интегрировал, теперь показывает напрямую, а тот, который показывал напрямую, интегрирует. Что тогда?

Нужно перебросить мяч через стенку в форме трапеции со сторонами a, b, c. С какой минимальной скоростью нужно кинуть мяч? Откуда и под каким углом?

Похоже, это решение как раз исключительное, остальные вроде бы имеют особенность в нуле типа $\frac{\ln r}r$. А что с n>5? На dxdy писали, якобы решений нет. Но при $r\to\infty$ там вообще все в порядке, затухание правильного знака. А при $r\to0$, наверное, тоже можно построить решение в виде ряда...

Автор темы --- упертый неуч и говнюк, он забанен. Я бы всю тему вырезал, да Зыкову жалко своей писанины...

Это вы к чему? Если по поводу "одного конкретного решения", так у нас уравнение второго порядка, решение должно зависеть от двух произвольных постоянных. Масштабная инвариантность уравнения позволяет ввести одну постоянную как масштабный множитель (в моих переменных это тривиальный сдвиг п...

Так это только одно конкретное решение.

Я, конечно, не претендую на точную оценку при $r\to\infty$, но грубую сделать нетрудно. При n=3 уравнение в моих переменных принимает вид $$ v''-v'+v^3=0. $$ При этом $u=v/r$. Функцией Ляпунова для такого уравнения, очевидно, будет $L=\frac{v^{\prime2}}2+\frac{v^4}4$. Имеем $L'=v^{\prime2}\leq 2L$, ...

На самом деле тут нужна другая замена переменных. Ее идея состоит в рассмотрении того масштабного преобразования, которое оставляет уравнение инвариантным: $r\to\lambda r$, $u\to\lambda^{-2/(n-1)}u$. Если перейти к переменным $t=\ln r$, $v=r^{2/(n-1)}u$, то в новых переменных преобразование принимае...

Она выпукла. Я тоже все думал, как к выпуклости свести, но так и не додумал.

По четвертой: а там можно применить нормы ? Они, случайно, не вложены друг в друга?

Задачку с логарифмами можно переписать попроще, если сделать дробно-линейное преобразование и аналогично для b. Тогда нужно доказать

Я думаю, следует прежде всего ставить задачу качественного исследование решений. Если этого не сделано, то и разложение построить не получится. А качественно исследовать мы хорошо умеем автономные уравнения...

Ну вот и на dxdy наибольшие терки были по поводу n=3... Википедия --- это не спортивно. На мой взгляд, тут довольно элементарными методами можно исследовать качественное поведение решений при любых n. Первый шаг Ian уже фактически сделал.