Портал Естественных Наук, версия 1.1

Навскидку можно сказать, что график f(x) зажат между графиками [math]x^2-x+1,\max(x,(1-x))Это следует из графического представления f(f(x)) как гуляния по вертикалям и горизонтали между графиками f и x, а также функция в правой части не меняется при замене х на 1-х

Действительно, у Вас проще, ответ тот же, спасибо

Вообще-то это выражение (небрежно названное "определитель") представляет собой целое число, только когда n или n-1 делится на 8. Тем не менее задача корректна и ответ нетривиальный, респект автору

У меня в ответе вышло однопараметрическое с параметром q семейство, включающее и синус и гиперсинус. Но как можно удовлетворить двум ограничениям подбором одного параметра. Думаю что автор задачи, спец по асимптотикам, где-то смазал в вычислениях. Это вот сюда принимали с такими задачами по математи...

Вот выкладка. очевидно, что f нечетная, пусть f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{2n-1} в том смысле что где бы ни обрезать этот ряд, равенство вплоть до о малой \left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}x^{2n-1}\right)\left(\sum_{m=1}^{M}a_{m}y^{2m-1}\right)=\sum_{k=1}^{M+N}\frac{a_{k}}{2k}\l...

Напрашивается [math]f(x)=C\sin ax но не удовлетворяет всем ограничениям. С другой стороны, есть длинное рассуждение, приводящее к тому что коэффициенты ряда Тейлора для f(x) должны быть похожи на коэффициенты такого синуса. Так может, в условии ошибка и решений нет?

Так что это особый тетраэдр, у которого есть такая сфера. Это просто тетраэдр, у которого суммы противоположных ребер для каждой пары одинаковы (в наших обозначениях a+b+c+d ). А раз и произведения одинаковы, то это одни и те же пары. Во всех вариантах получается правильная пирамида с ребрами 1,1,1...

Действительно, сфера существует не всегда. А в остальном у меня точно такое же решение. Спасибо!
Только решение АС=1 отбрасывается потому, что нарушится неравенство треугольника АС+BC>AB

sp.png Казалось бы, зачем эта первая фраза про сферу, такая сфера существует всегда, и что это дает. Однако, мне кажется , она играет роль подсказки. Мне хочется дать этой задачке какой-нибудь приз за красоту, хотя и не сложная, но неожиданная, например числа не зра так подобраны, они обеспечивают ...

... через ряд для Lambert W function. этот ряд доказан здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem#Lambert_W_function И дальше \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}=\frac{1}{\mu}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mu e^{-\mu}\right)^{n}\frac{n^{n-1}}{n!}=-\f...

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_distribution
[math]P(X=n)=\frac{e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!},\;n\in N
Но как хотя бы доказать, что [math]\sum_{n=1}^{\infty}P(X=n)=1 при любом [math]0<\mu <1 ?
Численные эксперименты показывают, что это действительно так

Сразу общий случай(в последних условиях леммы) \int_0^{\infty}\sin x\cdot f(tx)dx = -\cos x\cdot f(tx)\bigg|_0^{\infty} + t\int_0^{\infty}\cos x\cdot f'(tx)\;dx =f(0)+tO(1) \int_{\pi/2}^{\infty}\cos x\cdot f'(tx)dx=\sum_{n=0}^{\infty}f'(...

лемму имени кого-то: если f непрерывно монотонно убывает к 0, то \lim_{t\to 0}\int_0^\infty f(tx)\sin xdx=f(0) В такой формулировке лемма неверна, недоглядел: если взять f близкой к ступенчатой функции, постоянной на отрезках длины пи, то для этой ступенчатой по 1/t нечетным один пр...

как-то это все не очень радует. Остальные -то задачи (10 штук) там были на 10 минут максимум Смутно помню лемму имени кого-то: если f непрерывно монотонно убывает к 0, то \lim_{t\to 0}\int_0^\infty f(tx)\sin xdx=f(0) Но это сейчас вспомнил, когда вы показали ответ. Найти ее в литерат...

5. Найти
[math]\lim_{t\to 0}\int_0^{\infty}\frac{\sin\frac x2}{(1+tx)^{20}}dx

По моему небольшому опыту в таких задачах, всегда работает "информационный подход", хотя он не всегда самый короткий. Сколько существует таких автоматов? Отклики состояния s1 может быть реализована 4-мя способами, s2 -4мя, переходы из s1 (в силу ограничения) 3мя: переход по 0, переход по 1...

Для плоских фигур и полосок 3*1 обычно применяется трехцветная раскраска клеток, три диагонали , цвета циклически чередуются. Полоска обладает тем свойством, что каждого цвета в ней поровну.Значит, при раскраске (а есть два способа , как направить диагонали) всех цветов должно быть поровну, и если э...

zykov писал(а):все три имеют остатки 1 или 2, или хотя бы два имеют остатки 0

я согласен, что это необходимо. Но удивительно, что если все остатки 1, или все остатки 2, решений тоже нет

Было по 5 задач в нескольких, существенно отличных, вариантах, и некоторые я не знаю как решить. Вот например (вольный пересказ): 7 точек соединены отрезками так, что получился выпуклый 7-угольник. Для некоторых натуральных n может существовать расстановка 7 натуральных чисел в 7 вершинах, так, чтоб...

9. Имеется 100 фишек, на которых написаны номера 1, 2,...100. Фишки поставили в вершинах правильного 100-угольника так, что они оказались упорядочены в порядке возрастания при обходе вершин по часовой стрелке. За один ход можно обменять местами некоторые две фишки, расположенные в соседних вершинах,...