Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Я не знаю только задачу 3. Возможно , и есть n, при котором раскладывается?
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Ian писал(а):Source of the post Я не знаю только задачу 3.
Поискал, какие есть критерии. Нашел Perron's irreducibility criterion.
Там же есть простое доказательство в три строчки.
Здесь он выполняется, т.к. .
Не знаю, что они имели ввиду тут для школьников. Может просто нужно соорудить неравенство для этого частного случая по той же схеме, что в доказательстве общего случая.
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Задача "2" смешная.
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Не так. В три строчки оно выводится из теоремы ТФКП о количестве нулей полинома в круге на комплексной плоскости (как его можно оценить по его коэффициентам, в россии обычно идут как безымянные следствия из теоремы Руше), она сложная и ей школьникам точно нельзя пользоваться, там доказательство совсем неэлементарно.zykov писал(а):Там же есть простое доказательство в три строчки.
Но спасибо, хотя бы ответ знаем
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Если действовать в духе этого критерия, то нужно доказать, что при разложении на два многочлена, у одного из них свободный член будет по модулю меньше единицы.
Честно говоря, не вижу какого-то простого элементарного доказательства для этого.
Может у них конечно вообще какой-то другой способо доказательства.
Или у них вообще ощибка (есть элементарное доказательство, но не верное).
Честно говоря, не вижу какого-то простого элементарного доказательства для этого.
Может у них конечно вообще какой-то другой способо доказательства.
Или у них вообще ощибка (есть элементарное доказательство, но не верное).
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Ian писал(а):Source of the post оно выводится из теоремы ТФКП о количестве нулей полинома в круге на комплексной плоскости (как его можно оценить по его коэффициентам, в россии обычно идут как безымянные следствия из теоремы Руше)
Ну теорема Руше - для произвольных голоморфных функций, это конечно уже глубокий ТФКП - не для школьников. А следствие для многочленов, мне кажется, что это попроще и можно сделать элементарными средствами. (Обычно никто не делает, т.к. из общей теоремы всё легко видно.)
Для данной задачи, мне кажется, можно сделать элементарными методами (если ничего не напутал), но в том же ключе.
Правда получается несколько муторно и как-то не очень олимпиадно. Уж не знаю, это они имели ввиду или у них есть какое-то другое простое олимпиадное решение.
Сначала заметим, что этот многочлен для любого имеет действительный корень в диапазоне от -6 до -4 (с ростом стремится к -5).
Т.к. , при чётных будет , при нечётных будет . Значит при чётных будет корень в , при нечётных будет корень в . Обозначим этот корень (зависит от ).
Тогда многочлен можно записать как
Нужно показать, что для комплексных будет .
Заметим что
Сначала докажем неравенство для , как трудный случай. Потом из этого докажем для любого .
Вторая часть довольно простая.
Если и , то очевидно при будет , т.к. каждая из этих степеней меньше , а значит и их взвешенная сумма меньше, учитывая что сумма весов меньше 1.
Для первой части нужно доказать неравенство
или, что тоже самое, .
При чётных будет .
При нечётных будет
.
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Здесь в олимпиаде есть и еще длинные решения, например 4-я
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Ну оно не очень длинное.
Концептуально, тут сразу видно, что для положительных чисел и равенство только когда все три равны. Это правда надо строго доказать. У них несколько длинно, может можно и покороче сделать (как-то через выпуклость).
(Вообще тут аналогично, что сумма квадратов экстремальна при всех числах равных друг другу, если сумма положительных чисел зафиксирована.)
Концептуально, тут сразу видно, что для положительных чисел и равенство только когда все три равны. Это правда надо строго доказать. У них несколько длинно, может можно и покороче сделать (как-то через выпуклость).
(Вообще тут аналогично, что сумма квадратов экстремальна при всех числах равных друг другу, если сумма положительных чисел зафиксирована.)
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
А солюшена для #3 там нет?
А то это решение для школьника как-то не очень. Не зная ТФКП трудно догадатся, что дело в том, то все корни кроме одного внутри единичного круга. А потом ещё нужно соорудить технически непростое решение.
Кроме того в моём решении используется Основная теорема алгебры.
Вроде школьники её знают, правда без доказательства (школьными методами там не доказать).
А то это решение для школьника как-то не очень. Не зная ТФКП трудно догадатся, что дело в том, то все корни кроме одного внутри единичного круга. А потом ещё нужно соорудить технически непростое решение.
Кроме того в моём решении используется Основная теорема алгебры.
Вроде школьники её знают, правда без доказательства (школьными методами там не доказать).
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Про выпуклость. Пусть [math] выпуклая функция на (0,M). Тогдаzykov писал(а):Концептуально, тут сразу видно, что для положительных чисел и равенство только когда все три равны. Это правда надо строго доказать. У них несколько длинно, может можно и покороче сделать (как-то через выпуклость).
(Вообще тут аналогично, что сумма квадратов экстремальна при всех числах равных друг другу, если сумма положительных чисел зафиксирована.)
[math]. Но это никак к школьной программе не привязать.
Более элементарно [math], тогда остается доказать [math] а это очевидно из неравенства Коши.Но это уже которое по счету введение новых букв, рука не поднялась (и буквы кончились)
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
А нельзя в третьей задаче совсем в другую сторону подумать: рассмотреть значения функции в целых точках и что-то с разложением на множители или с признаками делимости использовать?
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
peregoudov писал(а):Source of the post рассмотреть значения функции в целых точках и что-то с разложением на множители или с признаками делимости использовать
Если можно, то было бы любопытно взглянуть.
Вообще там есть разные критерии.
В частности утверждаетя:
The irreducibility of a polynomial over the integers is related to that over the field of elements (for a prime ). In particular, if a univariate polynomial over is irreducible over for some prime that does not divide the leading coefficient of (the coefficient of the highest power of the variable), then is irreducible over .
Как применить к этой задаче - не знаю...
Дистанционная олимпиада 11кл. закончилась
Установление неприводимости многочлена над конечным полем [math] , p-простое, является сложной задачей, трудами поколений составлены таблицы таких неприводимых многочленов. Интересно, что для любого n и простого p существует хоть один неприводимый многочлен степени n над [math]. Но нам -то надо для каждого n указать p, что многочлен такого вида неприводим.
Если бы я сам придумывал школьникам задачу об этом, то что-нибудь типа для n=13 существует удачное разложение, а для меньших n нет. Простейшая задача такого класса про многочлен [math](при n кратном 4 -раскладывается)
Если бы я сам придумывал школьникам задачу об этом, то что-нибудь типа для n=13 существует удачное разложение, а для меньших n нет. Простейшая задача такого класса про многочлен [math](при n кратном 4 -раскладывается)
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей