http://istcim.math.us.edu.pl/
турнир в Польше
турнир в Польше
По E.1, можно вместо этих двух уравнений рассмотреть систему .
Любая двойка для этой системы даёт решение для каждого из тех уравнений - для второго, для первого. Отсюда сразу видно, что .
Насчёт единственности как-то труднее.
Если рассмотреть точки пересечения графиков и , то интуитивно понятно, что там только 3 точки. Одна в нуле, одна положительная и ей симметричная отрицательная. Но как это строго доказать "на пальцах", не вижу.
Можно дуболомно проанализировать функцию .
Видно, что и ряд Тэйлора в нуле начинается с , т.е. из нуля она идёт вниз. При очевидно, что . Значит на этом интервале есть минимум один корень.
Можно рассмотреть на интервале (само чуть больше ). Если повозится, то можно показать, что эта производная из нуля идёт вниз от нуля, потом идёт вверх, имеет один корень и дальше положительна. Т.е. , сначала убывает, потом имеет минимум, потом возрастает - значит имеет только один корень.
Любая двойка для этой системы даёт решение для каждого из тех уравнений - для второго, для первого. Отсюда сразу видно, что .
Насчёт единственности как-то труднее.
Если рассмотреть точки пересечения графиков и , то интуитивно понятно, что там только 3 точки. Одна в нуле, одна положительная и ей симметричная отрицательная. Но как это строго доказать "на пальцах", не вижу.
Можно дуболомно проанализировать функцию .
Видно, что и ряд Тэйлора в нуле начинается с , т.е. из нуля она идёт вниз. При очевидно, что . Значит на этом интервале есть минимум один корень.
Можно рассмотреть на интервале (само чуть больше ). Если повозится, то можно показать, что эта производная из нуля идёт вниз от нуля, потом идёт вверх, имеет один корень и дальше положительна. Т.е. , сначала убывает, потом имеет минимум, потом возрастает - значит имеет только один корень.
турнир в Польше
По A.1, там из умножения сразу видно, что .
Так же из умножения видно, что . Тогда для любого из сложения должно быть . Значит (оно же ) должно быть в .
Вобщем для любого всегда подходит тривиальное разбиение - в , всё остальное в .
Для , других вариантов и нет.
Для кроме тривиального есть ещё вариант, когда .
Ещё можно заметить, что если , то должно быть . Так например при будет . Т.е. оба 2 и 3 должны быть в , но не могут, т.к. разница между ними 1. Т.е. для будет только одно тривиальное разбиение.
Для произвольного затрудняюсь найти количество...
Так же из умножения видно, что . Тогда для любого из сложения должно быть . Значит (оно же ) должно быть в .
Вобщем для любого всегда подходит тривиальное разбиение - в , всё остальное в .
Для , других вариантов и нет.
Для кроме тривиального есть ещё вариант, когда .
Ещё можно заметить, что если , то должно быть . Так например при будет . Т.е. оба 2 и 3 должны быть в , но не могут, т.к. разница между ними 1. Т.е. для будет только одно тривиальное разбиение.
Для произвольного затрудняюсь найти количество...
турнир в Польше
zykov писал(а):Source of the post Можно рассмотреть на интервале
Для простоты можно сравнивать многочлен и секанс, для которого известен ряд Тэйлора: .
турнир в Польше
zykov писал(а):Source of the post Т.е. для будет только одно тривиальное разбиение.
Собственно, для любого простого будет только тривиальное разбиение.
Предположим, что есть . Тогда для любого будет . Но при простом наш пробегает все значения, в том числе и . Значит такого нет.
турнир в Польше
По G1, можно только оспаривать откуда берется формула аналитической геометрии для площади треугольника на плоскости, применяемая здесь. Я тоже не помню откуда просто знаю и все. однако наши получили за это решение (от польских судей)) 2 из 5 баллов
G1. Отношение площадей не меняется при поворотах , растяжениях и переносах, поэтому можно считать что это парабола [math]
[math]
[math]
Найдем [math]
угловые коэффициенты прямых, определяющих ее , 2x и 2z
[math]
[math]
[math]
[math]
Отношение площадей равно 2
G1. Отношение площадей не меняется при поворотах , растяжениях и переносах, поэтому можно считать что это парабола [math]
[math]
[math]
Найдем [math]
угловые коэффициенты прямых, определяющих ее , 2x и 2z
[math]
[math]
[math]
[math]
Отношение площадей равно 2
турнир в Польше
Запоздалая идея по G2. Захотелось уравнять в эффективности полосы, пересекающие круг вблизи центра и по сегменту вблизи края. Нужны и такие и такие. Их площади конечно разные, но площади частей полусферы , расположенных точно над ними- зато одинаковые и зависят только от ширины полосы (кроме случая, когда одна из границ полосы осталась строго вне круга). Так как R параллельных, уложенных плотно друг к другу полос ширины 2 поделят площадь полусферы на R равных частей, то каждая из них будет иметь площадь полусферы над собой [math] единиц, или меньше при том нерациональном расположении полосы, когда одна из ее границ не имеет общих точек со внешней окружностью . Итого m полос будут иметь площадь полусферы над собой максимум [math] и они должны закрыть всю полусферу [math] -вот что дал выход в 3е измерение
Ps. А впрочем там на сайте уже решения выложили. Но я до этого написал.
Ps. А впрочем там на сайте уже решения выложили. Но я до этого написал.
турнир в Польше
Ian писал(а):Source of the post А впрочем там на сайте уже решения выложили
Посмотрел E.1, у них оно тоже дуболомное - по кускам до второй производной анализировать. Как-то не олимпиадно...
турнир в Польше
Да, там ещё опечатка в солюшене должно быть . В остальном правильно.
турнир в Польше
Для A.1 солюшен какой-то невнятный. Рассуждения понятные, а вот какой ответ на вопрос "найти все пары множеств" - не понятно.
Вроде как числа не делящие должны быть в . А вот из тех, которые делят , какие разные можно составить?
Можно в только положить. Можно ещё все делители положить. А можно только часть делителей?
Вроде как числа не делящие должны быть в . А вот из тех, которые делят , какие разные можно составить?
Можно в только положить. Можно ещё все делители положить. А можно только часть делителей?
турнир в Польше
Ответ к А1 -для любого одного k ("fixed k"), собственного делителя n, B это все числа делящиеся на k, а А это все числа не делящиеся на него.Или в В только 0, а в А остальные. И все.Сколько есть собственных делителей, плюс 0, столько есть и разбиений кольца.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость