Физики вычислили максимальную скорость звука

zykov · Сообщение **zykov** » 12 окт 2020, 17:55

Физики вычислили максимальную скорость звука: 36 километров в секунду.
$\alpha c \sqrt{\frac{m_e}{2 m_p}}$

Быстрее всего звук распространяется в твёрдых телах с самыми лёгкими атомами.
Самый лёгкий во Вселенной атом – это атом водорода. Значит, в твёрдом водороде звук должен распространяться быстрее, чем в любом материале.

zykov · Сообщение **zykov** » 12 окт 2020, 18:19

Посмотрел бегло их статью.
Оно не особо ясно, но мне кажется, это оценка в пределе низких давлений (хотя для того же твёрдого водорода нужно высокое давление).
Наверно всё таки при больших давлениях скорость будет больше. Но я могу и ошибаться.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 14 окт 2020, 15:47

Какой-то если не лженаукой, то уж точно вселенской тупостью попахивает. За каким хреном притянута скорость света? Она вообще сокращается в ответе и это неспроста: звук в твердом теле уж точно не квантовой электродинамикой определяется, а обычной нерелятивистской квантовой механикой. И, если глянуть с этой точки зрения, то внезапно выясняется, что вся их формула --- это просто ридберг, деленный на массу ядра, под корнем. То есть просто $\sqrt{E/\rho}$ , записанный через атомные величины, и формула их очевидна из элементарного школьного размерного анализа :lol:

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2020, 17:22

peregoudov писал(а):Source of the post За каким хреном притянута скорость света?

Ну это в статье они разъясняют:

We note that $\alpha c$ and do not depend on . The reason for writing in terms of $\alpha c$ in Eq. 4 and the ratio $\frac{v_u}{c}$ in terms of $\alpha$ in Eq. 1 is twofold.

peregoudov писал(а):Source of the post что вся их формула --- это просто ридберг, деленный на массу ядра, под корнем

Да, теор. рассуждения там простые. Они два подхода рассматривают. Первый как раз про Ридберга.
Но смысл какой-то есть. Они ещё экспериментальные данные подтянули и сравнили. Плюс, ещё моделировали в каком-то пакете CASTEP.

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2020, 17:27

Я про другое. Насколько правомерно это называть максимальной скоростью...
Может быть только в пределе низких давлений.
Ведь скорость звука равна корню из отношения упругости к плотности.
А с ростом давления (имеются ввиду очень большие давления, вплоть до вырождения электронного газа, как в белых карликах) и плотность будет расти, хотя и не быстро. Упругость тоже должна расти из-за нелинейности. Вопрос, что быстрее будет расти.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 14 окт 2020, 17:59

Как подобные вещи считаются --- хорошо известно. Масса электрона много меньше массы ядра, поэтому на первом этапе рассматривается электронная подсистема в поле неподвижных ядер. Понятное дело, масса ядра тут никак не входит, и решение --- зависимость энергии основного состояния от координат ядер --- определяется ридбергом и боровским радиусом. На втором этапе решается задача движения ядер, для которой электронный терм становится потенциальной энергией. В целом получается, что упругость определяется электронной подсистемой, а инертность --- ядерной.

А вот как решать многоэлектронную задачу --- чистой воды шаманство. Там никакого малого параметра нет, все обезразмеривается в нуль. В этом месте и начинаются "пакеты", которые считают непонятно что непонятно как.

По поводу "максимальной скорости" --- думаю, тоже бла-бла. Уж коли вы про белых карликов вспомнили, давайте вспомним, что в ультрарелятивистском идеальном газе скорость звука $c/\sqrt3$ . Там, правда, температура должна быть много больше массы частиц... Не знаю, насколько это можно заменить энергией Ферми вырожденного газа... У них на графиках с расчетами никакого насыщения скорости с давлением не видно. Выпуклость вверх есть, но выпуклость есть и у логарифма...

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2020, 18:53

Да, заметил. Они коснулись вопроса давления.

Our upper bound (Eq. 9) does not account for the enthalpic contribution to the system energy as mentioned earlier; including the pressure effect would increase considerably at pressures shown in Fig. 3. Despite this, the calculated remains below in a wide pressure range and starts increasing above only above very high pressures of about 600 GPa.

peregoudov писал(а):Source of the post Как подобные вещи считаются --- хорошо известно.

А получится выписать формулу (в таком простейшем приближении) - скорость звука в зависимости от давления?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 14 окт 2020, 20:25

Не думаю. Я деталей подобного рода вычислений не знаю, в свое время интересовался принципиальными вопросами и даже с одним из "пакетов" немного игрался. Я из общих соображений скажу, на примере одномерной цепочки.

Вот вы расположили все ядра на одинаковом расстоянии и вычислили электронный терм. Теперь поменяли расстояние между ядрами (при этом изменился объем тела), снова посчитали терм. Разница энергий, деленная на разницу объемов --- это давление. Понятно, что "из соображений размерности" его рассчитать нельзя, уравнения мы уже обезразмерили. Электронная подсистема тут как нелинейная пружина действует и только численное решение многоэлектронной задачи может дать ответ. Из размерности можно сказать только, что давление будет измеряться в ридбергах на куб боровского радиуса.

Теперь мы вернули ядра на места и дали новый сдвиг, по синусу с периодом много большим межъядерного расстояния, объем при этом не меняется. Снова сосчитали электронный терм. Это, типа, потенициальная энергия упругой деформации в волне. Тоже никак не посчитаешь, кроме как в лоб.

Ну и дальше обычные формулы из механики для цепочки масс, соединенных пружинками.

Это как раз пример задачи, в которой размерный анализ тривиален, но интересуют именно численные коэффициенты, которые, хоть и получаются из безразмерных уравнений, хрен сосчитаешь.

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2020, 21:11

peregoudov писал(а):Source of the post Это как раз пример задачи, в которой размерный анализ тривиален, но интересуют именно численные коэффициенты, которые, хоть и получаются из безразмерных уравнений, хрен сосчитаешь.

Полностью может и не сосчитаешь, но обычно можно асимптотику хотя бы оценить.
Какой будет самый простой модельный случай?
Одномерная цепочка протонов, у каждого из которых по одному электрону?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 14 окт 2020, 23:22

Асимптотику? Честно говоря, как-то не думал... Возможно, с асимптотикой при больших плотностях должно что-то получиться: ведь электронный газ чем плотнее, тем идеальнее. Но так вот навскидку не скажу.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 15 окт 2020, 12:34

Про один из популярных методов я писал когда-то:

Метод функционала плотности --- это, на самом деле очень смешная штука. Фактически, ноги растут из идеи самосогласованного поля Вейсса 1907 года (оттуда же происходит вся теория фазовых переходов Ландау), но хитрый немецкий еврей умудрился так все зашифровать, что некоторые участники форума боятся даже говорить о доказательстве.

На самом деле все просто. Поиск энергии основного состояния --- это вариационная задача

$\min_\psi \langle\psi|H|\psi\rangle,$

которую Кон предложил разбить на два этапа (сравниваем с Вейссом!)

$\min_n\min_{\psi:\langle\psi|N|\psi\rangle=n}\langle\psi|H|\psi\rangle$

Внутренняя часть, не зависящая уже от $\psi$ , а только от , и называется функционалом плотности. Попутно становится ясно, как его считать, ежели по уму.

Разумеется, вся эта шарманка имеет смысл, если только определенным образом входит в . Например, для многоэлектронной задачи в поле неподвижных ядер (так называемое адиабатическое приближение)

$H=H_0+\int u (x) N (x)\, dx,$

где --- гамильтониан электронного газа, --- потенциальная энергия электрона в поле ядер, --- оператор плотности электронного газа (у Вейсса соответственно гамильтониан магнетика, внешнее магнитное поле и оператор намагниченности). Таким образом, усеченный функционал плотности

$\Phi [n]=\min_{\psi:\langle\psi|N|\psi\rangle=n}\langle\psi|H_0|\psi\rangle$

вообще никак от ядер не зависит (на все времена, для любых веществ и состояний!), а вторая часть вариационной задачи принимает вид

$\min_n\left (\Phi [n]+\int u (x) n(x)\, dx\right),$

во-первых, сводя задачу к одночастичной (коль скоро известен функционал плотности ), а, во-вторых, позволяя одним махом обозреть все возможные конфигурации ядер (и, например, сразу найти длины химических связей и углы).

Но понятно, что все эти чудеса, только если...

Ну вот если они написали что-то удобоваримое для функционала плотности в пределе больших плотностей, то можно было бы этим воспользоваться. Но мне кажется, это должны быть очень старые работы, 60-х, 70-х годов.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 19 окт 2020, 00:08

Есть книжка Пайнса "Элементарные возбуждения в твердых телах" (нетрудно найти в сети). Там в третьей главе есть обзор расчетов энергии электронного газа, правда, на фоне однородно размазанного положительного заряда.

zykov · Сообщение **zykov** » 22 окт 2020, 02:07

peregoudov писал(а):Source of the post Но понятно, что все эти чудеса, только если...

Можно кратко пояснить, что "только если"?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 26 окт 2020, 15:13

Только если вам откуда-то известен функционал плотности. Рассчитать его --- задача более сложная, чем решить исходное уравнение Шредингера для электронов в поле неподвижных ядер. Ведь он должен дать нам ответ сразу на все вопросы о строении всех веществ.

К сожалению, именно тут прогресса мало. Насколько я понял, пообщавшись с одним (правда, он не шаман, а прихожанин), никакой даже формальной теории возмущений там нет, а точность шаманских функционалов --- примерно на уровне Хартри---Фока в стандартном подходе (но поскольку соответствия со стандартным подходом тоже не разработано, неизвестно даже, смогли ли они воспроизвести хотя бы Хартри---Фока). Как-то так...

Портал Естественных Наук, версия 1.1