Интегрально-функциональное уравнение
Интегрально-функциональное уравнение
В МГУ на зачете предложили. Имеет ли уравнение [math]п.в. - ненулевые решения, принадлежащие [math]?
Мое мнение, что нет. Например, можно подобрать трансцедентное [math], что [math] всюду, кроме 0, удовлетворяет этому уравнению, но оказывается [math] и функция не принадлежит [math].
Но множество функций, удовлетворяющих этому уравнению, бесконечно. Зададим [math] на [math] произвольно, находим на на [math] функцию x(t) из условия:
[math] для всех [math], и так далее на промежутках [math], но функция должна еще склеиваться по непрерывности на границах промежутков, и это должно привести к росту модулей значений вблизи 0 со скоростью не меньше [math], и значит, к неинтегрируемости. Но не вижу, как доказать
Мое мнение, что нет. Например, можно подобрать трансцедентное [math], что [math] всюду, кроме 0, удовлетворяет этому уравнению, но оказывается [math] и функция не принадлежит [math].
Но множество функций, удовлетворяющих этому уравнению, бесконечно. Зададим [math] на [math] произвольно, находим на на [math] функцию x(t) из условия:
[math] для всех [math], и так далее на промежутках [math], но функция должна еще склеиваться по непрерывности на границах промежутков, и это должно привести к росту модулей значений вблизи 0 со скоростью не меньше [math], и значит, к неинтегрируемости. Но не вижу, как доказать
Интегрально-функциональное уравнение
Ian писал(а):Source of the post можно подобрать трансцедентное
или
(но при этом интеграл расходится)
Интегрально-функциональное уравнение
Ian писал(а):Source of the post для всех,
Должно быть .
или удовлетворяют этому уравнению (но не интегральному).
Интегрально-функциональное уравнение
Как-то трудно двигается. [math]
[math] из уравнения непрерывна, обращается в 0 в нуле, и дифференцируема п.в.
[math].
Пусть [math] ,[math] функция на [math], обращающаяся в 0 на - бесконечности
Тогда она удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению
[math], которое имеет, в соответствии с уже найденными альфами, пару линейно независимых решений [math] и [math], а какие еще, и есть ли среди них те, по которым получится [math]
При другом коэффициенте в уравнении могли бы получиться и осциллирующие решения, напр.[math]
[math] из уравнения непрерывна, обращается в 0 в нуле, и дифференцируема п.в.
[math].
Пусть [math] ,[math] функция на [math], обращающаяся в 0 на - бесконечности
Тогда она удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению
[math], которое имеет, в соответствии с уже найденными альфами, пару линейно независимых решений [math] и [math], а какие еще, и есть ли среди них те, по которым получится [math]
При другом коэффициенте в уравнении могли бы получиться и осциллирующие решения, напр.[math]
Интегрально-функциональное уравнение
А впрочем Лаплас в помощь, если известно, что у ограничена на бесконечности, тогда Лаплас точно берется (после отражения полуоси)
[math],
[math]
и тут что-то светит)
[math],
[math]
и тут что-то светит)
Интегрально-функциональное уравнение
Ian писал(а):Source of the post обращающаяся в 0 на - бесконечности
Если имеет конечный предел в , то всё просто.
Уравнение можно записать как .
Отсюда видно, что равен от среднего этой функции по отрезку .
Если функция имеет конечный предел в , то её среднее имеет тот же самый предел в . Отсюда сразу получаем, что этот конечный предел равен .
А если предел в равен , то функция везде равна нулю.
Рассуждать можно как-то так:
Для любого существует , такое что для всех .
Тогда для всех будет . И т.д. для любого . Т.е. .
Кроме того из уравнения очевидно, что не может быть знакопостоянной ни в какой окрестности . Знак должен менятся. Значит предел в не может быть или .
Значит, если такая существует, то в она не имеет предела.
Интегрально-функциональное уравнение
zykov писал(а):Source of the post А если предел в равен , то функция везде равна нулю.
Рассуждать можно как-то так:
Тот же аргумент можно обобщить на случай, если ограничена в окрестности нуля. Из этой ограниченности будет следовать, что везде равна нулю.
Это даже можно обобщить на случай, если ограничена, где , а находится из уравнения , численно . (Т.е. пики при приближении к нулю растут медленнее чем , например если они растут как .)
Интегрально-функциональное уравнение
Ian писал(а):Source of the post В МГУ на зачете предложили
Раз это зачет, а не олимпиада, то наверно там должно быть какое-то "ортодоксальное" решение через свойства по аналогии с тем, что им недавно на лекциях давали. Лично я таких подробностей не помню уже.
Может что-то вроде того, что должна быть ортогональна всем функциям семейства , , где - прямоугольник от до с площадью . И может по какой-то теореме только нулевая функция может быть всем им ортогональна. Хотя сами функции этого семейства к не принадлежат. Они вообще обобщенные функции...
Интегрально-функциональное уравнение
Напомню, что это просто обозначение [math]
Из уравнения [math] следует непрерывность [math] и [math]. Точнее, раз уравнение удовлетворяется почти всюду, то почти всюду непрерывность, но в классе равных п.в. функций x(t) можно выбрать ту, что u(t) будет непрерывна. соответственно [math] будет непрерывна всюду, кроме 0. Это из теоремы об абсолютной непрерывности интеграла Лебега, в частности, непрерывности по переменному верхнему пределу, она есть в курсе.С дифференцируемостью п.в. правой части по t труднее,но это тоже верно(Колмогоров-Фомин,гл.VI,пар.1,п.3). А так как производная выразилась через непрерывную функцию -она доопределяется по непрерывности и диф.уравнение удовлетворяется всюду (кроме той точки, которая вначале была s=0, а потом ушла в бесконечность и не мешает)
Так что мне хочется понять, что же дает Лаплас. Нет ли такой программки, которая по изображению строит график неэлементарной функции -оригинала?
Из уравнения [math] следует непрерывность [math] и [math]. Точнее, раз уравнение удовлетворяется почти всюду, то почти всюду непрерывность, но в классе равных п.в. функций x(t) можно выбрать ту, что u(t) будет непрерывна. соответственно [math] будет непрерывна всюду, кроме 0. Это из теоремы об абсолютной непрерывности интеграла Лебега, в частности, непрерывности по переменному верхнему пределу, она есть в курсе.С дифференцируемостью п.в. правой части по t труднее,но это тоже верно(Колмогоров-Фомин,гл.VI,пар.1,п.3). А так как производная выразилась через непрерывную функцию -она доопределяется по непрерывности и диф.уравнение удовлетворяется всюду (кроме той точки, которая вначале была s=0, а потом ушла в бесконечность и не мешает)
Так что мне хочется понять, что же дает Лаплас. Нет ли такой программки, которая по изображению строит график неэлементарной функции -оригинала?
Интегрально-функциональное уравнение
Ian писал(а):Source of the post Так что мне хочется понять, что же дает Лаплас
Наверно те же и , которые удовлетворяют диф. уравнению, но не удовлетворяют интегральному уравнению.
Интегрально-функциональное уравнение
Вобщем мне кажется, логика такая:
Раз принадлежит , то интеграл существует.
Значит предел равен .
Значит в окрестности функция ограничена какой-то .
Значит в окрестности функция ограничена какой-то .
А как я уже показал
Из того, что в окрестности функция ограничена какой-то , где (а ), следует при условии выполнения интегрального уравнения, что .
Есть вопросы к какому-то звену в цепочке? Нигде не ошибся?
Раз принадлежит , то интеграл существует.
Значит предел равен .
Значит в окрестности функция ограничена какой-то .
Значит в окрестности функция ограничена какой-то .
А как я уже показал
zykov писал(а):Source of the post Это даже можно обобщить на случай, если ограничена, где , а находится из уравнения , численно . (Т.е. пики при приближении к нулю растут медленнее чем , например если они растут как .)
Из того, что в окрестности функция ограничена какой-то , где (а ), следует при условии выполнения интегрального уравнения, что .
Есть вопросы к какому-то звену в цепочке? Нигде не ошибся?
Интегрально-функциональное уравнение
zykov писал(а): интеграл существует.
Значит ...
в окрестности функция ограничена какой-то .
Вот этот переход неверен. функция может тотально прижиматься к 0 но иметь совсем узкие всплески, не ограниченные никакой степенной функцией [math]вообще.
Давайте я для рядов покажу, с ними проще пример.
покажем, что для любого [math] есть [math],(можете считать q=2) координаты которого сильно прорежены нулями, на котором [math]. Возьмем такое целое N, что [math] и положим [math],тогда [math]
а при [math], m -любое натуральное, [math]
Также бывают, например, несобственно-интегрируемые неотрицательные функции, не ограниченные на бесконечности, тоже со всплесками, не элементарные. Заменой переменной [math] превратятся в функции, не ограниченные [math] в нуле.
Последний раз редактировалось Ian 05 июн 2019, 03:47, всего редактировалось 1 раз.
Интегрально-функциональное уравнение
zykov писал(а):Source of the post Значит в окрестности функция ограничена какой-то .
Да, я уже сам понял. Там могут быть узкие пики, которые дают малый вклад в интеграл.
Вобщем вместо этого шага нужно доказать (чтобы не уходить от интегралов и не иметь проблем с пиками), что из следует что ограничена какой-то .
Интегрально-функциональное уравнение
Что дает Лаплас в диф.-разн. уравнениях...ошибки он дает.
Уравнения [math] и [math] прекрасные тождества и в изображениях
А вот имеющее такое же решение [math] Лапласом решить не могу, там функции Хевисайда нужно вставлять а они разные
Уравнения [math] и [math] прекрасные тождества и в изображениях
А вот имеющее такое же решение [math] Лапласом решить не могу, там функции Хевисайда нужно вставлять а они разные
Интегрально-функциональное уравнение
zykov писал(а):Source of the post что из следует что ограничена какой-то .
Не знаю, как элегантно сделать.
Но через интеграл, как предел интегральной суммы получается так:
Если , то максимум равен и достигается, когда все равны друг другу по модулю.
Интегральная сумма для интеграла квадрата будет .
Интегральная сумма для интеграла модуля будет .
Значит .
Т.е. если принадлежит , то ограничен некоторой около нуля.
Значит из интегрального уравнения в окрестности нуля функция ограничена какой-то .
Значит, как было показано ранее, из интегрального уравнения следует что .
Похоже, что задача решина.
Интегрально-функциональное уравнение
А, так это неравенство Коши_Буняковского
[math]
Действительно прошло, ура!
Задача, предложенная на зачете, была еще шире
Охарактеризовать спектр оператора
[math], но как все такие интегральные операторы, он компактен и спектр имеет не более одной сгущения (0 или нет), а как оператор Вольтерры (что обеспечивается наличием t в верхнем пределе) - не имеет ненулевых точек спектра вообще. Оставался вопрос 0-собственное значение или точка непрерывного спектра. Тогда уравнение [math] можно разок продифференцировать по t и останется то, что в посте 1.
[math]
Действительно прошло, ура!
Задача, предложенная на зачете, была еще шире
Охарактеризовать спектр оператора
[math], но как все такие интегральные операторы, он компактен и спектр имеет не более одной сгущения (0 или нет), а как оператор Вольтерры (что обеспечивается наличием t в верхнем пределе) - не имеет ненулевых точек спектра вообще. Оставался вопрос 0-собственное значение или точка непрерывного спектра. Тогда уравнение [math] можно разок продифференцировать по t и останется то, что в посте 1.
Интегрально-функциональное уравнение
Тут точно модуль?Ian писал(а):Source of the post ,
Оператор то нелинейный получается...
Интегрально-функциональное уравнение
Да, без модуля
[math]
[math]
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Интегрально-функциональное уравнение
У этого уравнения есть еще свойство масштабной инвариантности: если --- решение, то и --- тоже решение.
У дифференциального уравнения , на самом деле, целая куча степенных решений вида , где удовлетворяет уравнению
Помимо уже указанных , , это уравнение имеет бесконечное множество решений, достаточно близких к
Эти решения осциллируют, но вещественная часть у них еще больше.
У дифференциального уравнения , на самом деле, целая куча степенных решений вида , где удовлетворяет уравнению
Помимо уже указанных , , это уравнение имеет бесконечное множество решений, достаточно близких к
Эти решения осциллируют, но вещественная часть у них еще больше.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость