Страница 1 из 1
Область поражения на наклонной плоскости
Добавлено: 14 авг 2019, 13:24
peregoudov
Утащено с другого форума.
На плоскости, наклонённой под углом
к горизонтали, происходит подрыв точечного заряда. Осколки, разлетающиеся во все стороны, имеют определённый максимум скорости разлёта
. Определить зону поражения на плоскости.
Область поражения на наклонной плоскости
Добавлено: 21 авг 2019, 21:09
Ian
Зона поражения в пространстве - это внутренность параболоида вращения (пожалуй, ниже я это докажу)
Тогда на плоскости -пересечение с ним, очевидно эллипс какой-то.
Пусть горизонтальная координата [math]x, вертикальная [math]z, заряд в начале координат.
точка [math](x,z) в зоне поражения тогда и только тогда, когда найдется угол [math]\varphi с горизонталью и момент [math]t>0, что
[math]x=v_0t\cos\varphi
[math]z=v_0t\sin\varphi-\frac {gt^2}2
Что эквивалентно: найдется t, что уравнение
[math]x^2 +(z+\frac {gt^2}2)^2=v_0^2t^2 имеет положительные решения t
Что эквивалентно: [math]v_0^2\geq gz и дискриминант >0
[math]2v_0^2gz\leq v_0^4-x^2g^2- вот эту параболу если вращать будет параболоид поражения. Так?
Область поражения на наклонной плоскости
Добавлено: 22 авг 2019, 19:31
nedokuril
Да, тот же получил ограничивающий сверху параболоид [math]z=\frac{v_0^2}{2 g} - \frac{g (x^2+y^2)}{2 v_0^2}
После поворота координат вокруг оси [math]y на угол [math]\alpha (обозначения те же, без штрихов) и взяв [math]z=0 получил :
[math]\frac{g}{2 v_0^2}y^2 + \frac{\cos(\alpha)^2 g}{2 v_0^2} x^2 - \sin(\alpha) x - \frac{v_0^2}{2 g}=0
Вроде бы на наклонной плоскости зона поражения ограничена чем-то, похожим на эллипс, если я нигде не ошибся.
Область поражения на наклонной плоскости
Добавлено: 23 авг 2019, 10:56
Ian
Остался вопрос -а может заряд обязательно будет в фокусе этого эллипса? Что заряд будет в фокусе параболы это видно сразу, обозначим [math]p=\frac{v_0^2}g тогда уравнение параболы приводится к виду [math]x^2=-2p(z-\frac p2)-значит, начало координат является фокусом параболы.
Итак, для плоскости и вертикальной, и горизонтальной -заряд будет в фокусе, предположу без счета, что и для любой плоскости, проведенной через фокус параболоида вращения, этот фокус будет в фокусе сечения
Область поражения на наклонной плоскости
Добавлено: 24 авг 2019, 20:27
nedokuril
Да, сначала не признал эллипса, а потом пригляделся к нему повнимательнее - и точно, он. Привел уравнение к виду :
[math]\frac{y^2}{b^2} + \frac{ \cos(\alpha)^2 (x - b\,tan(\alpha))^2}{b^2}=1
где [math]b=\frac{v_0^2}{\cos(\alpha) g}
И получилось начало координат будет в фокусе этого эллипса.
Область поражения на наклонной плоскости
Добавлено: 30 авг 2019, 21:34
peregoudov
Да, все правильно. А без вычислений можно как-то показать, что подрыв происходит в фокусе эллипса? Сам эллипс очевиден как сечение поверхности второго порядка (параболоида вращения) плоскостью. И Ian хорошо подметил, что подрыв происходит в фокусе параболы, являющейся сечением параболоида вертикальной плоскостью (это можно показать без вычислений?). Может быть, можно как-то чисто геометрически увидеть, что подрыв происходит в фокусе эллипса?