Вращающийся туннель

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Вращающийся туннель

Сообщение peregoudov » 24 июл 2019, 10:42

Утащил с другого форума.

Туннель некоторой формы, весь лежащий в одной плоскости, равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, с частотой $\omega$. Концы туннеля находятся на равных расстояниях $R$ от оси в противоположных направлениях. В один из концов туннеля помещают тело и отпускают. Найти время движения тела по туннелю, если форма туннеля такова, что это время минимально. Бонусом --- найти форму туннеля. Как обычно, трения нет, никаких внешних сил тоже нет.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 25 июл 2019, 03:03

А у неё есть вообще "хорошее" решение?

Так то вариационное уравнение составить не сложно. Но аналитически не решается.

Перейдем во вращающуюся систему координат. В ней концы тунеля неподвижны, находятся на расстоянии $R$ от центра под углами $0$ и $\pi$.
Добавляются центробежная сила $F=m\omega^2r$ и сила Кориолиса. Вторая никак не влияет, т.к. всегда направлена перпендекулярно вектору скорости, т.е. ровно в стенку тунеля и компенсируется силой реакции стенки тунеля.
Из закона сохранения энергии имеем $\frac{mv^2}{2}=\frac{m\omega^2r^2}{2}-\frac{m\omega^2R^2}{2}$.
Т.е. $v^2=\omega^2(r^2-R^2)$.

Если описать форму тунеля функцией $r(\phi)$ - радиус в зависимотси от угла, то $r(0)=r(\pi)=R$. В промежутке радиус растёт, затем падает. Функция однозначна, т.к. исходя из минимальности времени угол от времени только растёт - ему нет смысла идти назад а потом опять вперед.
Тогда $v^2=r^2 {\dot \phi}^2+(r' \cdot \dot \phi)^2=(r^2+r'^2){\dot \phi}^2$.
Время прохождения тунеля равно $T=\int_0^\pi (1/ \dot \phi) \; d\phi=\int_0^\pi \sqrt \frac{r^2+r'^2}{v^2} \; d\phi=\frac{1}{\omega} \int_0^\pi \sqrt \frac{r^2+r'^2}{r^2-R^2} \; d\phi$.
Если заменить $r$ на $\rho=r/R$, то получим $T\omega=\int_0^\pi \sqrt \frac{\rho^2+\rho'^2}{\rho^2-1} \; d\phi$.
Т.е. от $R$ результат никак не зависит. Зависимость от $\omega$ простая - время обратно пропорционально $\omega$.
Остается только найти минимум $\int_0^\pi \sqrt \frac{\rho^2+\rho'^2}{\rho^2-1} \; d\phi$ при $\rho(0)=\rho(\pi)=1$.
Вообще говоря оно решается. По крайней мере численно. Аналитического решения не вижу...

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 25 июл 2019, 03:23

Можно для ориентировки рассмотреть форму тунеля: "идёт вдоль радиуса до $R_1$, потом по окружности, потом обратно вдоль радиуса".
На радиальных участках имеем линейное отталкивание - радиус от времени заисит как гиперболический косинус.
При движении по окружности скорость постоянна, время будет $T_2\omega=\pi \sqrt \frac{R_1^2}{R_1^2-R^2}$. Можно заметить, что это время уменьшается с ростом $R_1$, но потом выходит на константу $\pi$.
Время двух радиальных участков растёт с ростом $R_1$ - сначала быстро (как квадратный корень), потом медленно (как логарифм). Т.к. это обратная к гиперболичискому косинусу.

Численно получается, что оптимальное соотношение $R_1/R \approx 1.6034$. При этом полное время $T\omega \approx 6.11837 \approx 1.9475 \pi$.
Конечно оптимальная форма тунеля будет гладкой, без этих углов. Но в целом оно будет близко к этому случаю.
В начале скорость маленькая и выгодно всю её тратить на рост радиуса (что даёт хороший прирост в скорости). Ближе к середине выгода от роста радиуса незначительна, так что выгодно всю скорость тратить на прирост угла. В углах выгоднее их срезать, т.к. путь по прямой короче.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Вращающийся туннель

Сообщение peregoudov » 25 июл 2019, 09:40

zykov писал(а):Source of the post А у неё есть вообще "хорошее" решение?
Конечно. Ответ на первый вопрос $\omega T=\pi\sqrt3$, а форму туннеля тоже можно найти аналитически. Это известная кривая ;)

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 25 июл 2019, 10:05

Ну не знаю...
Вот это $L(\phi,\rho(\phi),\rho'(\phi))= \sqrt \frac{\rho^2+\rho'^2}{\rho^2-1}$ легко подставить в уравнение Эйлера-Лагранжа $\frac{\partial L}{\partial \rho}-\frac{d}{d\phi} \frac{\partial L}{\partial \rho'}=0$.
Но ничего удобоваримого не получается.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Вращающийся туннель

Сообщение peregoudov » 26 июл 2019, 11:04

Ну, прямое решение уравнений Лагранжа --- не единственный способ найти движение.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 31 авг 2019, 02:09

Так можно увидеть этот альтернативный способ?

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 02 сен 2019, 08:51

zykov писал(а):Source of the post Вот это $L(\phi,\rho(\phi),\rho'(\phi))= \sqrt \frac{\rho^2+\rho'^2}{\rho^2-1}$ легко подставить в уравнение Эйлера-Лагранжа $\frac{\partial L}{\partial \rho}-\frac{d}{d\phi} \frac{\partial L}{\partial \rho'}=0$.

Если ничего не напутал, то получается страшненький дифур второго порядка $\rho(\rho^2-1)\rho''+(2-\rho^2)(r')^2+\rho^2=0$.
Вольфрам даже находит для него решение. Правда в косвенной форме (как решение уравнения) и используя какие-то Appell Hypergeometric Functions.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Вращающийся туннель

Сообщение Ian » 02 сен 2019, 09:29

peregoudov писал(а): Ответ на первый вопрос $\omega T=\pi\sqrt3$, а форму туннеля тоже можно найти аналитически. Это известная кривая ;)

Тогда это эпициклоида
[math]
[math]
[math]-это отвлеченный монотонный параметр c [math]. Для нее как раз
[math]
равен этому минимуму
Получается , что автор задачи доказал минимальное свойство эпициклоиды, аналогичное тому, что для циклоиды, но ни в какой вики не указанное.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 02 сен 2019, 16:21

Ian писал(а):Source of the post Тогда это эпициклоида
$x=\frac 32R(\cos\varphi-\frac 13\cos 3\varphi)$
$y=\frac 32R(\sin\varphi-\frac 13\sin 3\varphi)$

Похоже так.
Подставил это в
zykov писал(а):Source of the post$\rho(\rho^2-1)\rho''+(2-\rho^2)(r')^2+\rho^2$
и получил $0$ (если ничего не напутал).

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 02 сен 2019, 18:54

Ian писал(а):Source of the post $\varphi(\phi)$-это отвлеченный монотонный параметр

Кстати, анализ показал, что этот параметр изменяется по времени с постоянной скоростью.
Т.е. это и есть время с коэффициентом.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 03 сен 2019, 09:49

Ian писал(а):Source of the post Тогда это эпициклоида
$x=\frac 32R(\cos\varphi-\frac 13\cos 3\varphi)$
$y=\frac 32R(\sin\varphi-\frac 13\sin 3\varphi)$

Забавно, что если перейти обратно в невращающуюся систему координат (где сам тунель вращается), то траекторя движения тела - это просто окружность радиуса $R/2$ с центром на расстоянии $3R/2$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Вращающийся туннель

Сообщение peregoudov » 03 сен 2019, 15:25

zykov писал(а):Source of the post Так можно увидеть этот альтернативный способ?
Закон сохранения энергии :D

Кстати, не понял, откуда Ian взял свое решение...

zykov писал(а):Source of the post Забавно, что если перейти обратно в невращающуюся систему координат (где сам тунель вращается), то траекторя движения тела - это просто окружность радиуса $R/2$ с центром на расстоянии $3R/2$.
Первая реакция --- не может быть. Ведь тогда время движения по туннелю должно быть кратно времени оборота, а там корень из трех пополам.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 03 сен 2019, 16:11

peregoudov писал(а):Source of the post Первая реакция --- не может быть. Ведь тогда время движения по туннелю должно быть кратно времени оборота

Да, верно.
Это я перепутал. Ведь $\phi$ растет не со скоростью $\omega$, а со скоростью $\omega/\sqrt 3$.
Нужно переходить не в неподвижную систему, а во вращающуюся со скоростью $\omega-\omega/\sqrt 3$.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Вращающийся туннель

Сообщение zykov » 03 сен 2019, 16:14

peregoudov писал(а):Source of the post zykov писал(а):
Source of the post Так можно увидеть этот альтернативный способ?

Закон сохранения энергии :D


Этого не достаточно.
Я его уже использовал.
zykov писал(а):Source of the post Из закона сохранения энергии имеем $\frac{mv^2}{2}=\frac{m\omega^2r^2}{2}-\frac{m\omega^2R^2}{2}$.
Т.е. $v^2=\omega^2(r^2-R^2)$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Вращающийся туннель

Сообщение Ian » 03 сен 2019, 17:07

peregoudov писал(а):...
Кстати, не понял, откуда Ian взял свое решение...
Решения не было. Просто напрашивающийся пример. В пределе при R к бесконечности и фиксированном расстоянии между концами туннеля - в ответе циклоида, почему бы не проверить эпициклоиду. И раз на ней значение функционала времени совпало с указанным Вами -она оптимальна, хотя могло быть, что не только она.
А доказал zykov, что она удовлетворяет уравнению, значит, экстремаль. Отсюда совсем недалеко до строгого решения.
Эту вариационную задачу можно представлять как поиск геодезической во внешности круга с заданным метрическим тензором, так как коэффициент при dl зависит только от точки. Если бы внешность круга конформно отобразить на нечто функцией [math]-метрический тензор перейдет в единичный, и значит геодезические (куски эпициклоид) перейдут в отрезки прямых. Но боюсь, что такого конформного отображения нет. А то часто так геодезические находят

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Вращающийся туннель

Сообщение peregoudov » 04 сен 2019, 12:01

zykov писал(а):Source of the post Этого не достаточно.
Как же недостаточно! Ведь вы сами написали лагранжиан, не зависящий от "времени"
zykov писал(а):Source of the post Вот это $L(\phi,\rho(\phi),\rho'(\phi))= \sqrt \frac{\rho^2+\rho'^2}{\rho^2-1}$
в качестве которого у вас выступает угол $\phi$.

Ian писал(а):Source of the post Решения не было. Просто напрашивающийся пример.
Так непонятно даже, откуда вы значение интеграла взяли. Не честно же руками вычислили...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Вращающийся туннель

Сообщение Ian » 04 сен 2019, 14:35

Ian писал(а):[math]
равен этому минимуму

[math]
под интегралом же константа :twisted:


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей