Свой правильный ответ у меня есть, но что же делать с ПБМ? Путь к их формуле был долог и труден.
Прежде всего нужно сделать другую подстановку: подгадать так, чтобы одна из точек ветвления, для определенности

, отображалась в бесконечность, а еще одна, для определенности

--- в нуль. Тогда после преобразования под корнем останется многочлен третьей степени, причем один из корней у него будет

. Последующей заменой

получим стандартный эллиптический интеграл. В общем, замена теперь имеет вид

После такой замены получается интеграл

Тут уже вырисовываются модуль и параметр

сам же интеграл выражается через стандартные

Однако остаются комплексные числа в формуле, притом что сам результат вещественный. Вот изгнание этих мнимостей и заняло большую часть времени.
Прежде всего я обнаружил, что для нашего

работает приведенная выше формула

причем множитель перед скобками равен

, а аргумент

---

Интеграл принимает вид

Чтобы выделить отсюда вещественную часть явно, нужно сосчитать

, что сводится к суммированию неполных интегралов 1-го и 2-го родов с разными амплитудами. Для таких сумм есть формулы


Однако в нашем случае они напрямую неприменимы, потому что оказывается

и получается неопределенность 0/0. Лопиталя ее по

, находим формулу для случая


В нашем случае результирующая амплитуда

а

. Окончательно

То есть, собственно говоря, в ПБМ лишние квадратные скобки, а так все правильно. Последний член (

) описывает постоянную добавку к полю внутри магнита, а знак

во втором члене описывает ветвление при

(загиб контура интегрирования за край разреза).