Управление ракетой

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Управление ракетой

Сообщение Ian » 18 ноя 2018, 10:40

rocket.png
rocket.png (22.06 KiB) 9255 просмотра

Первый случай (интеграл от управления постоянен) решается легко без вариационного исчисления, делаем управление максимальным на начальном участке времени, пока не исчерпаем ресурс. А второй случай , интеграл от квадрата управления ограничен - тут у меня проблемы.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Управление ракетой

Сообщение zykov » 19 ноя 2018, 04:17

При ограничении, когда [math] имеет вид "полки" - некоторое время постоянно, потом зануляется, оптимум при [math].
Наверно это и будет оптимум в общем случае, т.к. квадрат пенализирует отклонения вверх и заставляет выравнивать значения.
Вобщем, без вариационного тут никак, если строго.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Управление ракетой

Сообщение zykov » 19 ноя 2018, 13:15

Вариационное даёт [math].
"Полка" сюда подходит, но другой вариант, когда [math] убывает линейно от максимума до 0, даёт большее расстояние.
Для полки [math], для линейного спада [math].
(На 26% больше.)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Управление ракетой

Сообщение Ian » 19 ноя 2018, 17:49

Спасибо, а подробнее можно? Просто в вариационных задачах на условный экстремум возникает некоторое [math], которое иногда константа, но бывает и [math] и даже в этих вопросах надо копаться в доказательствах теорем, чтобы узнать что где. Но книгам, где даются хотя бы сокращенные доказательства, обычно можно верить, значит автор сам проверял, что пишет.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Управление ракетой

Сообщение zykov » 20 ноя 2018, 04:31

Для варьирования выберем параметр [math] и функцию [math], такую что [math].
Цель оптимизации [math].
[math], так что ограничение будет [math].

Далее варьируем:
[math].
[math].
Второе слагаемое нам даст и так очевидное [math].
С первым слагаемым будет [math].
Отсюда и получаем что [math], т.е. [math].

Вот и получаем, что [math] состоит из прямых кусков. Не знаю как строго обосновать дельта функции [math] на изломах [math]. На пальцах - сами по себе изломы ничего не добавляют в эти два интеграла, а если бы там было какое-то закругление, то его можно было бы оптимизировать вплоть до острого излома.

Основной случай, когда [math] линейно убывает от некоторого [math] до 0 некоторое время, а потом идет свободный полет ([math]) ещё какое-то время, пока скорость не упадёт до 0.
Если же окажется, что оптимальный [math], то тогда оптимум будет что какое-то время [math], потом [math] линейно убывает от [math] до 0 какое-то время, и потом ещё какое-то время [math], пока скорость не упадёт до 0 в режиме свободного полёта.

Далее, сам оптимум найти - это школьная алгебра. Выразить [math] через [math] и провести оптимизацию при заданном ограничении.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Управление ракетой

Сообщение zykov » 20 ноя 2018, 06:53

Посмотрел ещё раз на оптимум при линейном убывании. В начале [math], в течение времени [math] идет линейное убывание [math] до 0, и проходится расстояние [math]. При этом скорость в конце тоже падает до 0, так что второго участка со свободным полётом просто нет. И изломов тоже получается нет. Есть только линейное убывание на [math].

Правда если [math], то без изломов не обойтись.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Управление ракетой

Сообщение Ian » 21 ноя 2018, 08:20

Спасибо! Вопрос зависимости оптимизируемого функционала от T действительно решается просто, мы говорим, что пусть есть оптимальное решение, для него есть время достижения максимума T, так зафиксируем это T , это решение должно оптимизировать и задачу с этим фиксированным T, и даже [math] использованное Вами, можно заранее считать равным 0. А потом-потом уже алгебраическое уравнение на T решим.
А вот я задавал вопрос, а кто сказал, что [math] не зависит от [math]. В случае произвольных неголономных связей действительно существенно зависит.Перечитал Эльсгольца главу 9. Особенно параграф 3 об отличии изопериметрической задачи от произвольной. Вы проделали то, что он проделывает в общем случае. Вводит 2-ю оптимизирующую функцию, у нас это будет [math], тогда и 2й конец закреплен [math], согласно выводам предыдущих параграфов [math] должна быть стационарной для [math], но уравнение стационарности надо писать и для w
[math], вот это и подтверждает, что здесь ламбда константа.
Как обосновать дельта-функции- мы варьируем v, кусочно дифференцируемую непрерывную, для нее все эти интегрирования по частям законны.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Управление ракетой

Сообщение zykov » 23 ноя 2018, 07:20

Ian писал(а):Source of the post А вот я задавал вопрос, а кто сказал, что λ не зависит от t.
Честно говоря, никогда не слышал про [math]. Есть какая-то ссылка (например на wikipedia), где про это написано?
А то мне кажется, что весь смысл [math] теряется - то что это один параметр (по одному на каждую связь).

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Управление ракетой

Сообщение Ian » 23 ноя 2018, 19:42

Но это для случая когда уравнения связи алгебраические (голономные связи) или дифференциальные, причем они для экстремали должны выполняться тождественно, так что данных для решения возникающей системы хватает.
els27.png
els27.png (115.35 KiB) 9171 просмотра

Для случая изопериметрических задач, в которых все производные не выше первого порядка и в оптимизируемом функционале, и под интегралами в ограничениях -Эльсгольц показывает, что получатся [math], написал выше.Опять данных хватает: +одно числовое уравнение и + одно неизвестное число. Но вот например приплести к изопериметрической задаче (она по определению с производными не выше первого порядка) еще производные 2-го порядка -сведется к первому порядку, но появятся неголономные связи, и ряд примеров у него, в том числе из физики, показывают, что там [math]


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: Bing [Bot] и 2 гостей