Истечение жидкости из отверстия, нестационарная задача

peregoudov
Сообщений: 500
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Истечение жидкости из отверстия, нестационарная задача

Сообщение peregoudov » 16 май 2018, 17:42

Рассмотрим истечение жидкости из отверстия в плоской стенке в двумерном случае (ну, можно считать, что из бесконечно длинной щели). Жидкость пусть будет идеальная и несжимаемая, тогда из уравнения непрерывности следует существование функции тока, такой что

$$ v_x=\partial\psi/\partial y,\quad v_y=-\partial\psi/\partial x, $$

а из уравнения Эйлера --- сохранение циркуляции, которое можно записать в виде потенциальности потока

$$ v_x=\partial\phi/\partial x,\quad v_y=\partial\phi/\partial y. $$

Все вместе можно записать в виде условия, что существует комплексный потенциал $\omega=\phi+i\psi$, являющийся аналитической функцией комплексной координаты $z=x+iy$, а комплексная скорость $v=v_x+iv_y$ является его производной

$$ v^*=d\omega/dz. $$

Кроме того, из уравнения Эйлера (в двумерном случае оно имеет две компоненты) следует закон Бернулли

$$ \frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{|v|^2}2+p=f(t), $$

здесь $p$ --- давление, деленное на плотность (можно, например, считать плотность равной единице).

Будем считать, что в начальный момент жидкость занимает полуплоскость $y>0$, давление в ней равно $p_0$. Дальше в стенке открывается отверстие $|x|<a$, $y=0$ и жидкость начинает вытекать в нижнюю полуплоскость, где давление равно нулю. Требуется найти форму струи $x_0(y,t)$ и распределение скорости в любой момент времени.

Ниже расписал известное решение для стационарного истечения, может быть, пригодится.

Рассмотрим сперва уже установившееся течение. Поскольку два куска стенки $|x|>a$, $y=0$ и являющиеся их продолжением границы струи $x=\pm x_0(y)$, $y<0$ являются линиями тока, а давление в верхней полуплоскости вдали от отверстия равно $p_0$, получаем следующую граничную задачу: найти функцию тока, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области $y>0$ и $|x|<x_0(y)$, $y<0$, принимающую постоянные значения $\psi=\pm b$ ($b$ пока не знаем, потом надо будет связять с $p_0$ и $a$) при $x>a$ ($x<-a$), $y=0$ и $x=\pm x_0(y)$, $y<0$, и удовлетворяющую, кроме того, условию $(\nabla\psi)^2\!=2p_0$ на границах струи. Граничные условия на струе являются переопределенными, но и форма струи заранее неизвестна.

На языке комплексного потенциала имеем граничные условия $\mathop{\rm Im}\omega=\pm b$ и $|d\omega/dz|^2=2p_0$.

Конечно, удобнее решать задачу с граничными условиями на известной границе. Этого можно достичь, если сделать следующий финт ушами. Будем искать не потенциал $\omega$ как функцию $z$, а наоборот, $z$ как функцию $\omega$. Тогда имеем задачу на полосе $|\psi|<b$, с граничными условиями $\mathop{\rm Im}z=0$ на стенках $\phi<0$, $\psi=\pm b$ и граничными условиями $|dz/d\omega|^2=1/2p_0$ на границах струи $\phi>0$, $\psi=\pm b$ (у Ландау в этом месте почему-то другие знаки у $\phi$, но ведь жидкость течет от малых $\phi$ к большим).

В принципе, уже в таком виде задача может быть сведена к интегральному уравнению, однако возможны еще три финта ушами.

Первый состоит в переходе от $z$ к комплексной скорости $v^*$, при этом из граничного условия изгоняется производная неизвестной функции. Второй финт состоит в переходе к $u=\ln(-iv^*)$, тогда граничное условие становится из квадратичного линейным. Получаем задачу с граничными условиями $\mathop{\rm Im}u=\pm\pi/2$ на стенках $\phi<0$, $\psi=\pm b$ и граничными условиями $\mathop{\rm Re}u=\frac12\ln2p_0$ на границах струи $\phi>0$, $\psi=\pm b$. И третий финт состоит в переходе от полосы к полуплоскости $\mathop{\rm Re}\zeta>0$ с помощью конформного преобразования $\zeta=e^{-\pi\omega/2b}$. Тогда получаем граничные условия $\mathop{\rm Im}u=\pm\pi/2$ при $\zeta&#39;=0$, $|\zeta&#39;&#39;|>1$ и $\mathop{\rm Re}u=\frac12\ln2p_0$ при $\zeta&#39;=0$, $|\zeta&#39;&#39;|<1$.

Последняя задача представляет собой задачу о поле проводящей полосы, которая имеет известное решение

$$ u=\ln\left(-\zeta+\sqrt{1+\zeta^2}\,\right)+\frac12\ln2p_0. $$

Последняя формула является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными относительно $\zeta(z)$

$$ \int_{-i}^\zeta\frac{i\,d\zeta&#39;}{\zeta&#39;\left(-\zeta&#39;+\sqrt{1+\zeta^{\prime 2}}\right)}= \int_{-i}^\zeta i\,d\zeta&#39;\,\left(1+\frac{\sqrt{1+\zeta^{\prime 2}}}{\zeta&#39;}\right) =\frac{2\pi p_0^2(z-a)}b. $$

Постоянная $b$ опеределяется из условия $z=-a$, $\zeta=i$ и равна

$$ 2+\pi=\frac{4\pi p_0^2a}b $$

(проще всего разделить вещественную и мнимую части при помощи равенства $1/(x+i\varepsilon)=\mathop{\rm V.p.}(1/x)+i\pi\delta(x)$). Отсюда же получаем сжатие струи в соотношении $\pi/(\pi+2)$.

В принципе, интеграл вычисляется до конца заменой переменной $\zeta=\frac12(s-1/s)$

$$ \int\,d\zeta&#39;\,\left(1+\frac{\sqrt{1+\zeta^{\prime 2}}}{\zeta&#39;}\right)= i\left(s+\ln\frac{s-1}{s+1}\right), $$

так что можно нарисовать все линии тока.

Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей