Хорошо известен метод изображений в электростатике: если надо найти поле системы зарядов и плоского или сферического проводника, то задача сводится к поиску поля исходных зарядов и зарядов-изображений, а проводник удаляется. Можно ли этот метод обобщить на задачи магнитостатики, когда имеется система токов и сверхпроводник?
Одно из препятствий состоит в том, что в магнитостатике нет "элемента тока", токи обязаны быть замкнутыми, поэтому принцип суперпозиции имеет ограниченное применение. Эту трудность можно обойти, если заменить токи распределением магнитных диполей. А именно, ток , текущий по замкнутому контуру , эквивалентен системе магнитных диполей, размазанных с плотностью по поверхности , натянутой на этот контур, и всюду перпендикулярных этой поверхности. Таким образом, достаточно сформулировать метод изображений для магнитного диполя.
Со сверхпроводником в форме плоскости проблем не возникает: диполь-изображение получается просто "отражением в зеркале". При этом суммарное поле диполя-оригинала и диполя-изображения удовлетворяет на поверхности сверхпроводника граничному условию .
А вот со сферическим сверхпроводником у меня что-то не клеится... Напомню, что есть два подхода: прямой и сведением к плоскому. В прямом подходе, если у вас есть сферический сверхпроводник радиуса , а диполь находится на расстоянии от центра, то изображение находится на отрезке, соединяющем центр сферы с диполем-оригиналом, на расстоянии от центра. И нужно подобрать лишь величину диполя-изображения для выполнения граничного условия на поверхности сверхпроводника. Вот с этим и возникают проблемы.
Сведение к плоскому случаю основано на инвариантности уравнения Лапласа относительно инверсии , если одновременно преобразовать скалярный потенциал . Для преобразования сферы радиуса в плоскость нужно выбирать центр инверсии в одной из точек сферы и полагать . В таком подходе сложность в том, что магнитное поле, в отличие от электростатического, вообще говоря, не описывается скалярным потенциалом, хотя всюду вне токов , а в ЛЛ8, задача 1 к параграфу 30 есть слова про скалярный потенциал магнитного поля. Технически это проявляется в том, что уже в электростатике изображение диполя в сфере --- не просто диполь, а диполь плюс заряд. Соответственно, в магнитном случае возникает лишний "магнитный заряд", с которым непонятно, что делать...
Так все-таки, возможен ли метод изображений для сферы в магнитостатике? Если да, то как строить изображение? Если нет, то как все-таки построить решение? Представляется, что оно должно быть простым...
Метод изображений для токов
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Метод изображений для токов
В общем, все действительно не так просто, классический метод изображений тут не работает, но решить задачу все же можно.
Начнем с того, что всюду вне токов , а потому можно ввести потенциал магнитного поля . В частности, из аналогии электрического поля электрического диполя и магнитного поля магнитного диполя, следует, что потенциал магнитного диполя с дипольным моментом , расположенного в точке равен
Из уравнения следует, что потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.
Для пуристов.
Потенциал диполя можно представить в виде производной от потенциала точечного заряда
Поместим начало координат в центр сферического сверхпроводника, пусть его радиус равен единице. Потенциал точечного заряда при можно разложить по сферическим функциям
после чего
Нормальная компонента магнитного поля диполя на поверхности сверхпроводника равна
Потенциал магнитного поля будем искать в виде , где удовлетворяет уравнению Лапласа и убывает на бесконечности, общий вид такого потенциала
Нормальная компонента магнитного поля на поверхности сверхпроводника, соответствующая этому потенциалу, равна
Поскольку должно быть , находим коэффициенты
и сам потенциал
Введем обозначение , тогда потенциал записывается в виде
От множителя легко избавиться дифференцированием
откуда (с учетом условия )
Задача в принципе решена, остаток сводится к рутинному дифференцированию. Отметим, что выражение может быть записано в виде , так что первое слагаемое в представляет собой вклад заряда-изображения величиной , находящегося в точке , однако имеются еще два слагаемых, которые к точечным источникам не сводятся. Оказывается, они представляют собой потенциал заряда, равномерно размазанного с плотностью -1 по оси в интервале от 0 до (так что полный заряд внутри сферы равен нулю).
Интересной величиной является сила, действующая на диполь
В силу того, что выражение симметрично по перестановке и , результат можно записать в виде
то есть сперва сделать подстановку и только затем финальное дифференцирование. Вычисление серьезно упрощается, так как далеко не все члены при подстановке выживают. А именно, производные обращаются в нуль при подстановке. Окончательно получаем
Линии уровня потенциала для диполя с дипольным моментом в направлении оси показаны на рисунке. Потенциал растет от красного к фиолетовому. Зеленым показана линия нулевого потенциала. Масштаб значений потенциала логарифмический (1:10:100).
Начнем с того, что всюду вне токов , а потому можно ввести потенциал магнитного поля . В частности, из аналогии электрического поля электрического диполя и магнитного поля магнитного диполя, следует, что потенциал магнитного диполя с дипольным моментом , расположенного в точке равен
Из уравнения следует, что потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.
Для пуристов.
Потенциал диполя можно представить в виде производной от потенциала точечного заряда
Поместим начало координат в центр сферического сверхпроводника, пусть его радиус равен единице. Потенциал точечного заряда при можно разложить по сферическим функциям
после чего
Нормальная компонента магнитного поля диполя на поверхности сверхпроводника равна
Потенциал магнитного поля будем искать в виде , где удовлетворяет уравнению Лапласа и убывает на бесконечности, общий вид такого потенциала
Нормальная компонента магнитного поля на поверхности сверхпроводника, соответствующая этому потенциалу, равна
Поскольку должно быть , находим коэффициенты
и сам потенциал
Введем обозначение , тогда потенциал записывается в виде
От множителя легко избавиться дифференцированием
откуда (с учетом условия )
Задача в принципе решена, остаток сводится к рутинному дифференцированию. Отметим, что выражение может быть записано в виде , так что первое слагаемое в представляет собой вклад заряда-изображения величиной , находящегося в точке , однако имеются еще два слагаемых, которые к точечным источникам не сводятся. Оказывается, они представляют собой потенциал заряда, равномерно размазанного с плотностью -1 по оси в интервале от 0 до (так что полный заряд внутри сферы равен нулю).
Интересной величиной является сила, действующая на диполь
В силу того, что выражение симметрично по перестановке и , результат можно записать в виде
то есть сперва сделать подстановку и только затем финальное дифференцирование. Вычисление серьезно упрощается, так как далеко не все члены при подстановке выживают. А именно, производные обращаются в нуль при подстановке. Окончательно получаем
Линии уровня потенциала для диполя с дипольным моментом в направлении оси показаны на рисунке. Потенциал растет от красного к фиолетовому. Зеленым показана линия нулевого потенциала. Масштаб значений потенциала логарифмический (1:10:100).
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Метод изображений для токов
Аппетит приходит во время еды... Тем же приемом можно рассмотреть более общую задачу о магнитном диполе и сферическом магнетике с проницаемостью (сверхпроводник получается при ).
Исходные уравнения
потенциал теперь вводим для напряженности , уравнение для потенциала в однородных областях сводится к уравнению Лапласа. Помимо выписанного уже (только во внешней области), вводим еще добавку во внешней области и потенциал внутри шара-магнетика
Граничные условия требуют непрерывности тангенциальной компоненты , то есть самого потенциала, и непрерывности нормальной компоненты , то есть скачка нормальной производной потенциала в раз
Из граничных условий определяются коэффициенты и сами потенциалы и
Имея целью определить поле во внешней области, видим, что меняется лишь выражение для
Тем же приемом дифференцирования можно получить
откуда
Это выражение может быть, как и ранее, преобразовано к
откуда видно, что и в этом случае мы имеем заряд-изображение в точке и заряд противоположного знака, размазанный по отрезку , разница же состоит в том, что теперь плотность не постоянна, а пропорциональна .
При возвращаемся к полученному ранее результату для сверхпроводника. Другой предельный случай, когда интеграл вычисляется без больших хлопот --- сильный магнетик , тогда
Для зануд.
Тем же манером по определяем
Здесь потенциал не такой интересный и всюду приводит к притяжению.
Исходные уравнения
потенциал теперь вводим для напряженности , уравнение для потенциала в однородных областях сводится к уравнению Лапласа. Помимо выписанного уже (только во внешней области), вводим еще добавку во внешней области и потенциал внутри шара-магнетика
Граничные условия требуют непрерывности тангенциальной компоненты , то есть самого потенциала, и непрерывности нормальной компоненты , то есть скачка нормальной производной потенциала в раз
Из граничных условий определяются коэффициенты и сами потенциалы и
Имея целью определить поле во внешней области, видим, что меняется лишь выражение для
Тем же приемом дифференцирования можно получить
откуда
Это выражение может быть, как и ранее, преобразовано к
откуда видно, что и в этом случае мы имеем заряд-изображение в точке и заряд противоположного знака, размазанный по отрезку , разница же состоит в том, что теперь плотность не постоянна, а пропорциональна .
При возвращаемся к полученному ранее результату для сверхпроводника. Другой предельный случай, когда интеграл вычисляется без больших хлопот --- сильный магнетик , тогда
Для зануд.
Тем же манером по определяем
Здесь потенциал не такой интересный и всюду приводит к притяжению.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей