Альпинист и конус

[peregoudov]

Долго колебался, куда помещать тему: в Физику или в Математику. В конце концов решил, что словам "трение" и "пренебрежем" в Математике не место

Альпинист лезет на конус. Натуральный такой круговой конус с вертикальной осью. Альпинист завязывает на веревке петлю (петля фиксированной длины, не затягивается), набрасывает петлю на вершину конуса, а сам подтягивается на свисающей веревке. Как водится, трением веревки по конусу и размером альпиниста пренебрегаем. Каков максимальный угол при вершине конуса, при котором петля еще не будет соскальзывать?

[Ian]

Веревка ляжет по геодезической на конусе, на развертке конуса это будет отрезок прямой либо, в момент перед падением, два отрезка с изломом в вершине. Значит,чтобы не упал, угол развертки должен быть меньше [math]\pi, отсюда угол при вершине меньше [math]\frac{\pi}3

[peregoudov]

Блестяще! Только резать конус для развертки надо по узлу на веревке: тогда и изломов не будет, и отрезок должен отсекать равнобедренный треугольник.