На орбите

[peregoudov]

Станция и состыкованный с ней спутник движутся вокруг планеты по круговой орбите радиусом, равным 1.4 радиуса планеты. В некоторый момент спутник отстреливается с помощью пиропатрона в направлении движения станции и переходит на орбиту с максимальным удалением от центра планеты, равным семи ее радиусам. Совершив ровно один оборот после отделения, спутник вновь оказывается в окрестностях станции. Во сколько раз масса станции больше массы спутника?

Говорят, предлагалась на одной из Всесоюзных олимпиад школьников по физике.

[zykov]

Третий закон Кеплера поможет: "Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет".
Очевидно, что станция совершила более 1 оборота. Нужно смотреть, сколько получится - 2, 3 или больше.

[Ian]

Так как точка, в которой касательная перпендикулярна направлению на фокус, может быть только вершиной орбиты, то и для станции и для спутника планета будет фокусом, только в момент расставания для спутника ближним, а для станции дальним, и значит, как подразумевал zykov, встреча может быть только в этой точке. Полуось для спутника 4,2R планеты, для станции между 1,4R и 1,2R, и квадрат числа оборотов спутника между 27 и 43 , там один полный квадрат , 6 оборотов. Ну а дальше?

[Ian]

И тут усомнился а как работает пиропатрон. Обычный патрон - пуля отталкивается от винтовки, их суммарный импульс сохраняется. А этот-может так, что станция летит как и прежде? Тогда хороший ход, неравенства, целые числа какие-то, так и останется невостребованным. Да и вообще противоречие

[zykov]

Импульс сохраняется.
Т.е. скорость центра масс спутника и станции (сразу после разлёта) равна старой скорости (скорости круговой орбиты).