Рассеяние на самоподобном потенциале

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 22 фев 2017, 15:16

Задача обсуждалась на Сайтеке в 2008 году, вот ссылка на оригинал для тех, кто хочет видеть полностью
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 1203964865
а я приведу нарезку самого, на мой взгляд, важного

ЗАДАЧА от Инкви

электрон, как положено налетает на потенциальный барьер. Барьер строится таким образом: на единичном отрезке высотой единица вырезается из средины треть, из оставшихся кусков врезается опять, по трети и т.д., при этом суммарная полщадь остается постоянной.
найти коэффициент пропускания барьера...

Моя идея, думаю, понятна. Фрактальный потенциал самоподобен: его отличная от нуля треть --- снова тот же потенциал, сжатый в три раза (a->a/3) и с амплитудой, в полтора раза большей (U->3U/2). Тогда найденное соотношение для "двойного финитного потенциала" приводит к функциональному уравнению
$\frac1{T(z)}=\frac1{T^2(z/3)}+\left(\frac1{|T(z/3)|^2}-1\right)e^{4\pi iz/3},$
где z=pa, а второй параметр, от которого зависит коэффициент пропускания, можно выбрать не зависящим от масштабирования $u=Ua^2(pa)^{-\log_3 6}$ . Теперь нужно еще какое-то дополнительное условие к функциональному уравнению (через него и войдет параметр U) и решить все это

Вот забавное соотношение нашел (уже давно)

$|g(z)|^2-1=4(\mathop{\rm Re} g(z/3))^2(|g(z/3)|^2-1),\quad g(z)=e^{-2iz}\!/T(z).$

Все никак не могу сообразить, как его можно проитерировать, и как это использовать для решения функционального уравнения.

Формулы, годящиеся для малых , позволяют численно находить амплитуды и при больших - переходя несколько раз с помощью соотношений подобия к $z\to 3z, ~I\to 2I$ .
На картинке показан получаемый этим способом коэффициент прохождения при нескольких величинах площади под фрактальным потенциалом.

Добавлено.
1. Все показанные пики - не численный артефакт, а реальность. Точность контролировалась путем сравнения ответов, найденных с разным размером начальной зоны по , в которой применялись степенные разложения до включительно, и соответственно с разным количеством итераций по раздуванию и (конкретно размер начальной зоны брался либо ). При всех показанных точность в была не хуже $10^{-4}$ (4 верных знака после запятой).

2. Собственно, сама задача инквизитора это случай единичной площади и единичной длины (). Ей соответствует первая картинка во втором ряду, на которой и показано численное решение задачи.

Если рассмотреть функциональное уравнение для матрицы сшивки
$M(3z)=\begin{pmatrix}e^{-2iz}&0\cr0&e^{2iz}\end{pmatrix}M(z) \begin{pmatrix}e^{2iz}&0\cr0&e^{-2iz}\end{pmatrix}M(z)$
при значениях "z", кратных $z_0=\pi/2$ , то оно вырождается в и немедленно итерируется $M(3^nz_0)=M^{2^n}(z_0)$ . Записывая матрицу
$M(z_0)=\begin{pmatrix}a^*&-b^*\cr-b&a\end{pmatrix},$
раскладывая ее по сигма-матрицам, представляя в экспоненциальном виде, возводя в степень и снова возвращаясь к компонентной форме, получим
$M(3^nz_0)= \begin{pmatrix}\cos2^n\phi-ia''\sin2^n\phi/\sin\phi&-b^*\sin2^n\phi/\sin\phi\cr -b\sin2^n\phi/\sin\phi&\cos2^n\phi+ia''\sin2^n\phi/\sin\phi\end{pmatrix},$
где , $\cos\phi=a'$ .

Рассматривая переход $z\to3z$ как замену $p\to3p$ , $U\to6U$ при неизменном "a" (при этом не меняется параметр "u" малое), видим, что безразмерное отношение $U/p^2\to\frac23U/p^2$ . Вроде бы в пределе должны получить полную прозрачность потенциала. Вроде бы это и численным счетом подтверждается. Тогда матрица должна диагонализоваться, что возможно только при b=0. И мы получаем точный результат $M(\pi n/2)=\mathop{\rm diag}\!\left(e^{-i\phi(\pi n/2)},e^{i\phi(\pi n/2)}\right)$ , а $|T(\pi n/2)|^2=1$ .

Это наводящие соображения. Я просто пытаюсь понять вот эти вот периодические пики с $|T|\sim1$ .

На мой взгляд, эта задача имеет много общего с задачей Ian'а про функцию Кантора. Предлагаю попробовать добить.

Ian · Сообщение **Ian** » 03 мар 2017, 20:28

Все равно без картинки неясно, каков же график данного потенциала

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 05 мар 2017, 21:47

Мне кажется понятным... Начинаем с потенциала, равного единице на [0,1] и нулю вне него. Площадь под графиком потенциала равна единице. Выкидываем среднюю треть, то есть полагаем потенциал равным нулю на [1/3,2/3]. Теперь площадь под графиком стала 2/3. Чтобы выправить ее обратно к единице, увеличиваем потенциал на отрезках [0,1/3] и [2/3,1] в 3/2 раза. То есть теперь у нас потенциал равен 3/2 на отрезках [0,1/3] и [2/3,1] и нулю вне этих отрезков. Повторяем описанные операции рекурсивно для каждого отрезка, на котором потенциал отличен от нуля. Все еще непонятно?

zykov · Сообщение **zykov** » 05 мар 2017, 22:48

А есть у такого потенциала какие-то реальные предпосылки или это чисто модельный случай?

Ian · Сообщение **Ian** » 06 мар 2017, 07:32

peregoudov писал(а):Мне кажется понятным... Начинаем с потенциала, равного единице на [0,1] и нулю вне него. Площадь под графиком потенциала равна единице. Выкидываем среднюю треть, то есть полагаем потенциал равным нулю на [1/3,2/3]. Теперь площадь под графиком стала 2/3. Чтобы выправить ее обратно к единице, увеличиваем потенциал на отрезках [0,1/3] и [2/3,1] в 3/2 раза. То есть теперь у нас потенциал равен 3/2 на отрезках [0,1/3] и [2/3,1] и нулю вне этих отрезков. Повторяем описанные операции рекурсивно для каждого отрезка, на котором потенциал отличен от нуля. Все еще непонятно?

Ну а как Вы думаете, если мы с Вами будем учить студентов так формулировать задачи, сможем ли мы сами потом с ними беседовать, они же вырастут в кого-то? Я спрашивал не потому, что у меня нет догадок, что дано, а потому, что человек со стороны не поймет условие. Пример понятного условия: это функция, в некоторых точках равная нулю, а в некоторых (на множестве меры 0)- бесконечности, так что первообразная от нее -канторова лестница. Так/Не так? По крайней мере определена обобщенная функция, но в связи с ее обобщенностью что из предыстории нужно изменить/переформулировать?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 06 мар 2017, 12:23

zykov писал(а):Source of the post А есть у такого потенциала какие-то реальные предпосылки или это чисто модельный случай?

Думаю, реальных предпосылок нет.

Ian писал(а):Source of the post сможем ли мы сами потом с ними беседовать

Ну, я смогу

А с вами мне и сейчас порой беседовать трудно. Вот, например, для меня такая фраза является загадочной

Ian писал(а):но в связи с ее обобщенностью что из предыстории нужно изменить/переформулировать?

Вообще, простота и сложность --- во многом дело привычки.

Так/Не так?

Да, этот потенциал --- производная канторовой функции.

Ian · Сообщение **Ian** » 06 мар 2017, 21:13

peregoudov писал(а):А с вами мне и сейчас порой беседовать трудно. Вот, например, для меня такая фраза является загадочной
Ian писал(а):но в связи с ее обобщенностью что из предыстории нужно изменить/переформулировать?

Принимаю упрек, у меня снижается понятность текста если пост длинный. кажется что и так уже много написал и недошлифовываю.
В данном случае, определяемую функцию можно понимать только как обобщенную. А Ваши прежние собеседники пишут ее значение в точке, чего у обобщенных функций нет. И вопрос - раз уж Вы их поняли, можете ли поправить их формулы, те. которые не учитывают, что функция обобщенная.
И потом я вообще не знаю, что такое рассеяние на потенциале, мне бы математическую модель

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 06 мар 2017, 21:40

Ну, математическая модель не изложена, потому что мы в "физике", а не в "математике", по умолчанию предполагается, что участники знают, что такое рассеяние на потенциале. Вы же в математике не излагаете каждый раз "математическую модель производной", если тема требует применения матанализа? К тому же модель есть по ссылкам (и еще).

А в формулах, если вы имеете в виду первый пост, я не вижу чего поправлять: там никаких обобщенных функций нет. Если же обобщенные функции волнуют вас, так сказать, вообще, можно считать, что потенциал недоделанный (то есть описанная выше итерационная процедура его построения обрывается через конечное число шагов), тогда это просто набор прямоугольных потенциальных барьеров, ну, а дальше интересует предел коэффициента пропускания при увеличении числа итераций.

Ian · Сообщение **Ian** » 07 мар 2017, 09:47

U(x) не является функцией, не принимает никаких интересных значений кроме 0 и бесконечности. Если оперировать с

U(x) как с обычной функцией, написать для нее функциональное уравнение самоподобия, то я скажу вам секрет оно имеет единственное решение

U(x)=0 , то есть уравнение эквивалентно этому условию

U(x)=0, и авторы неизбежно придут к выводу что коэффициент пропускания равен 1. А вот написать уравнение самоподобия для первообразной

U(x), я показывал, можно, отсюда простенькое функциональное уравнение и на преобразование Фурье Канторовой лестницы получить, а значит и на преобразование Фурье

U(x), и оно уже не будет иметь нулевого решения.
А Вы вместо попытки причесать условие (это и право ТС, и его работа), допустить обобщенные функции, отрубаете этот путь, для конечных потенциалов уравнения самоподобия уже нет.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 07 мар 2017, 14:27

"Функциональное уравнение самоподобия" пишется не для потенциала, а для коэффициента пропускания (либо для матрицы рассеяния) на данном потенциале. Вы меня извините, но у меня такое впечатление, что вы вообще ничего не читаете: ни того, что я пишу в теме, ни того, что написано по ссылкам.

Портал Естественных Наук, версия 1.1