Падение пружинки слинки
Добавлено: 23 дек 2021, 14:23
Думаю, многие видели и саму пружинку и разные видео с ее участием. Я хочу построить математическую модель падения пружинки, типа вот такого https://www.youtube.com/watch?v=eCMmmEEyOO0&t=156s
Я могу написать простенькую модель для упругого стержня длины , падающего в однородном поле тяжести. Его движение описывается функцией , где --- декартова координата, --- время, --- лагранжева координата. Для покоящегося недеформированного стержня .
Модель упругости возьмем самую простую, гуковскую: . Пусть --- линейная плотность массы в лагранжевых координатах, тогда уравнение движения или
где --- скорость звука в лагранжевых координатах.
Граничные условия --- отсутствие упругих сил на концах
Одно начальное условие --- . А чтобы найти второе, нужно решить уравнение с граничными условиями (верхний конец держим), (нижний свободный). Получаем
Решением на промежутке является
где
Иначе говоря, пока упругая волна от отпущенного верхнего конца не дойдет до нижнего, нижний и не сдвинется.
Верхний же конец движется равномерно
Чем плоха эта модель? Да тем, что упругие напряжения
меняют знак на фронте упругой волны. Более того, для слинки характерный параметр , что вообще приводит к тому, что стержень складывается в обратную сторону, нарушается неравенство .
Очевидно, для слинки нужна другая модель, учитывающая, что она подобна стержню лишь при растяжении, но при сжатии ведет себя совсем по-другому. Была у меня мысль, что схлопнувшиеся (возможно, даже неупруго) витки слинки падают как единое целое. Тогда, если ко времени схлопнулись витки вплоть до , координата верхнего конца пружины равна
а импульс схлопнувшихся витков равен
с другой стороны, импульс силы тяжести за время равен , приравнивая,
или
Из последнего уравнения очевидно, что , что уже странно, а вся пружина схлопнется за --- гораздо быстрее, чем упругая волна успеет дойти до нижнего конца.
Нужны идеи...
Я могу написать простенькую модель для упругого стержня длины , падающего в однородном поле тяжести. Его движение описывается функцией , где --- декартова координата, --- время, --- лагранжева координата. Для покоящегося недеформированного стержня .
Модель упругости возьмем самую простую, гуковскую: . Пусть --- линейная плотность массы в лагранжевых координатах, тогда уравнение движения или
где --- скорость звука в лагранжевых координатах.
Граничные условия --- отсутствие упругих сил на концах
Одно начальное условие --- . А чтобы найти второе, нужно решить уравнение с граничными условиями (верхний конец держим), (нижний свободный). Получаем
Решением на промежутке является
где
Иначе говоря, пока упругая волна от отпущенного верхнего конца не дойдет до нижнего, нижний и не сдвинется.
Верхний же конец движется равномерно
Чем плоха эта модель? Да тем, что упругие напряжения
меняют знак на фронте упругой волны. Более того, для слинки характерный параметр , что вообще приводит к тому, что стержень складывается в обратную сторону, нарушается неравенство .
Очевидно, для слинки нужна другая модель, учитывающая, что она подобна стержню лишь при растяжении, но при сжатии ведет себя совсем по-другому. Была у меня мысль, что схлопнувшиеся (возможно, даже неупруго) витки слинки падают как единое целое. Тогда, если ко времени схлопнулись витки вплоть до , координата верхнего конца пружины равна
а импульс схлопнувшихся витков равен
с другой стороны, импульс силы тяжести за время равен , приравнивая,
или
Из последнего уравнения очевидно, что , что уже странно, а вся пружина схлопнется за --- гораздо быстрее, чем упругая волна успеет дойти до нижнего конца.
Нужны идеи...