Да, вы, батенька, садист, сразу лагранжианом по башке
А вообще забавно, согласитесь, что вся энергия тут --- кинетическая, но при этом она не сохраняется, а сохраняется другая величина (кстати, а почему вы упорно не пользуетесь лагранжевыми законами сохранения, а напрямую решаете лагранжевы уравнения --- это ведь сложнее?) А не сохраняется она потому, что вращающийся цилиндр над натянутой нитью совершает работу. И вот это наблюдение дает возможность решить задачу почти школьным методом.
Разобьем скорость массы m на параллельную и перпендикулярную нити. Параллельная связана с вращением цилиндра
, а перпендикулярная определяет силу натяжения
, а вслед за ней --- мощность, развиваемую вращающимся цилиндром
, которая равна производной кинетической энергии
. Изменение длины нити связано как с вращением цилиндра (вклад
), так и с разматыванием нити за счет движения массы вокруг цилиндра (вклад
)
. В итоге имеем два уравнения
Из них находим
, откуда
. Подставляя в уравнение для l, находим
откуда уже
(ответ, естественно, тот же, что у вас). Нить не сможет полностью намотаться, если квадратный трехчлен в правой части имеет отрицательный дискриминант, а это происходит при
.
Но еще красивее решение с переходом во вращающуюся систему отсчета. Там скорость массы перпендикулярна нити, а работу совершает только центробежная сила, поэтому уравнения упрощаются до
и интегрируются впрямую.